Ecuacuaciones Diferenciales de Variables Separables (mas ejemplos)

gary.nunez (40)in #steemstem • 8 years ago (edited)

Gottfried Leibniz Descubrió el método de la separación de variables, la reducción de ecuaciones homogéneas a ecuaciones separables y el procedimiento para resolver ecuaciones lineales de primer orden.

Fuente:https://es.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibniz

! Hola amigos de Steemit...
En una presentación anterior (Ecuaciones Diferenciales de Variables Separables), les deje dos ejemplos ilustrativos de como resolver este tipo de ecuaciones. En esta publicación les dejares otros ejemplos, espero les sirvan, comencemos:

Ejemplo 1: Resolver $(1+x)\frac{dy}{dx}= x$ .

Solución:

Seaparando las varibles tenemos:

$(1+x)\frac{dy}{dx}= x\Rightarrow (1+x)dy= xdx\Rightarrow dy= \frac{xdx}{1+x}$

Integrando se tiene:

$\int dy= \int \frac{xdx}{1+x}\Rightarrow y= x-\ln (1+x)+C$

Por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial es:

$y= x-\ln (1+x)+C$ .

$\textup{Ejemplo 2: }xy^{4}dx+(y^{2}+2)e^{-3x}dy=0$

$\textup{Solucion:}$

$\textup{Separando las variables se tiene:}$ $xy^{4}dx+(y^{2}+2)e^{-3x}dy=0\Rightarrow (y^{2}+2)e^{-3x}dy= -xy^{4}dx\Rightarrow \frac{(y^{2}+2)dy}{y^{4}}=- \frac{xdx}{e^{-3x}}$

$\textup{Ahora Integramos:}$

$\int \frac{(y^{2}+2)dy}{y^{4}}= -\int \frac{xdx}{e^{-3x}}\Rightarrow -\frac{1}{y}-\frac{2}{3y^{3}}= -\frac{xe^{3x}}{3}+\frac{e^{3x}}{9}$

$\textup{Por lo tanto, la solucion de la ecuacion diferencial es:}$

$\frac{1}{y}+\frac{2}{3y^{3}}= \frac{e^{3x}(3x-1)}{9}+C$ .

$\textup{Ejemplo 3: Resolver} (4y+yx^{2})dy-(2x+xy^{2})dx=0$

$Soluci\acute{o}n:$

$\textup{Separemos las variables:}$ $(4y+yx^{2})dy-(2x+xy^{2})dx=0\Rightarrow (4+x^{2})ydy=(2+y^{2})xdx\Rightarrow \frac{ydy}{2+y^{2}}= \frac{xdx}{4+x^{2}}$

$Integrando:$ $\int \frac{ydy}{2+y^{2}}=\int \frac{xdx}{4+x^{2}}\Rightarrow \frac{\ln (2+y^{2})}{2}= \frac{\ln (4+x^{2})}{2}+C$ $\textup{Utilizando propiedades de logaritmo nos queda:}$ $e^{\ln (2+y^{2})}= e^{\ln (4+x^{2})+C}$ $\textup{Por lo tanto, la solucion general de la ecuacion diferencial es:}$ $2+y^{2}=(4+x^{2})C$