更严格地证明0.999...=1

前段时间写了篇如何证明0.999....=1的帖子。用到的都是初等数学求数列和的办法。

这不，经常关注的youtube频道“李永乐老师”不久前也讲到了这个问题，不过他的证明方法更严密，更有说服力。

首先这涉及到如何定义实数，也叫数学公理化的问题。我们以前学习数学知道实数包括整数、有理数、和无理数。有理数的定义很清楚就是两个整数的商（p/q）。但是无理数怎么定义呢，仔细回忆了一下，好像教科书上只说了无限不循环小数是无理数。这可不是什么严格地定义，无限的小数怎么验证它不循环呢？别小看这个问题，曾经困扰人类上千年。据说古希腊的毕达哥拉斯学派认为，所有的数都可表示成两个整数的商，即所有数都是有理数。但是该学派的一个弟子根据毕达哥拉斯定理（就是勾股定理）计算出正方形桌子的对角线不是有理数，不能表示成两个整数的商，为此他的同门师兄弟们为了维护学派理论的正确性，在一个月黑风高的夜里将他装进麻袋，扔到了海里。

这里我们在证明0.999...=1的时候要用到一个实数的定义方法叫：戴德金分割。

根据维基百科，戴德金分割的定义是：

實數可定義為有理數集上的戴德金分割，即是有理數集的一個劃分，其中都非空，而且A的每個元素都小於B的任意元素。

大概解释一下这个定义的意思，这个定义就是要用有理数定义出包括无理数在内的所有实数。它的意思就是，实数就是数轴上的划分点，把所有有理数分成两个集合A、B，使得A中的元素都小于B中的元素。如下图：

图一 作者：cheva

为什么这样就能用有理数定义出实数呢？

因为这样的划分点无外乎以下三种情况：

1. 集合A中有最大，B中无最小。
2. 集合A中无最大，B中有最小。
3. 集合A中无最大，B中也无最小。

情况1、2都是对应的划分点为有理数，因为A、B是有理数的集合。情况3则对应了划分点为无理数的情况，因为划分点既不属于A也不属于B，所以，划分点实际上是从有理数的缝隙之间穿过，所以对应的是无理数。

好了，弄清楚了实数的定义，我们再来根据这个定义证明0.999...=1。实际上我们就是证明0.999...和1是同一个划分点。

时间关系，下面的证明过程我写简单点。

当分割点为0.999...时得到两个有理数的集合A、B

其中集合A={A|x<0.999...}

当分割点为1时得到两个有理数的集合C、D

其中集合C={C|x<1}

证明0.999...和1是同一个分割点就是证明A=C：

1.设

2.设 p、q为整数

存在n使

所以t<0.999...9(n个9），那么t自然也小于0.999...(无限个9）所以t也属于集合A。

所以集合A=集合C，也就是0.999...=1.