Prepárate para aprender las herramientas necesarias para el cálculo infinitesimal a nivel universitario. II Parte: Ejercicios de repaso del capítulo preparación al cálculo del libro de Larson y Hostetler

Saludos amigos de la comunidad steem, en especial a todos los usuarios y comunidades que apoyan el contenido académico orientado al aprendizaje en la ciencia, ingeniería y matemáticas.

En esta oportunidad quiero presentarles este artículo en donde básicamente desarrollare un resumen de la resolución de los ejercicios propuestos por el libro de Larson y Hostetler volumen I: Ejercicios de repaso del capítulo: Preparación al cálculo (P).

Con los ejercicios propuestos que presenta el libro en la página 37, todo aquel estudiante a nivel universitario dentro de ingeniería y ciencias podrá ayudarse en la comprensión de los fundamentos básicos necesarios para abordar lo relacionado al cálculo diferencial e integral.

Para la solución de estos ejercicios propuestos del libro de Larson en el capítulo (P) quiero innovar un nuevos sistema de enseñanza dentro de esta serie temática mediante una metodología en la que voy a plantear el ejercicio propuesto especificado y las bases teóricas necesarias para resolverlas, sin dejar de lado cualquier tips en base a la experiencia pedagógica en los años de dedicación en la docencia universitaria en lo que al cálculo infinitesimal refiere.

Como alternativa a la solución de los ejercicios propuestos, quiero también complementar el conocimiento con las gráficas que se puedan generar con el software matemático de uso libre (geogebra 5.0).

Ejercicios propuestos de repaso del capítulo: Preparación al cálculo (Libro de Larson)

En los ejercicios del 1 a 4, encontrar las intersecciones con los ejes (si existe alguna).

Para este caso en el libro de Larson, Volumen I en la página 37 se nos pide encontrar los cortes con los ejes coordenados x e y para el caso en que existan, sin embargo quiero añadir que para el caso en que no existen cortes con los ejes coordenados considero necesario agregar una justificación para cada caso, lo otro es que el resultado algebraico lo vamos a corroborar con la gráfica que se ejecute empleando el software geogebra 5.0.

[1] Para el caso de la primera ecuación esta representa una función lineal, y como se nos pide encontrar las intersecciones con los ejes coordenados x e y, aplicamos la siguiente metodología:

[1.a] Corte con el eje X.

Esta condición solo ocurre cuando Y=0, por lo que el planteamiento de la ecuación es:

Para el caso de la línea recta esta corta en el eje x en X=1,5

[1.b] Corte con el eje Y.

Esta condición solo ocurre cuando X=0, por lo que el planteamiento de la ecuación es:

Para el caso de la línea recta, esta corta en el eje y en Y= -3

El análisis correspondiente y obligatorio es que no solo para este caso de la función lineal existen cortes con los ejes coordenados cartesianos, sino que para cualquier función lineal existen cortes con los ejes cartesianos x e y.

[1.c] Gráfica con el software geogebra 5.0

[2] Para el caso de la segunda ecuación esta representa una función cuadrática, y aunque a simple vista no se ve que la variable x este elevada al cuadrado, cuando efectuamos la multiplicación de los términos: (x-1)(x-3) la ecuación resultante será una ecuación de segundo grado, por lo que las intersecciones con los ejes coordenados cartesianos serán de una función parabólica , por lo que para este caso aplicaremos la siguiente metodología:

[2.a] Realizar la propiedad distributiva de los términos:

[2.b] Plantearnos la ecuación resultante en forma de función

[2.c] Para conseguir el corte con el eje x, esto solo ocurre en la condición de cuándo y=0, se resuelve siguiendo la siguiente metodología:

Si tomamos en cuenta que la ecuación de segundo grado tiene como coeficientes a=1, b= -4 y c= 3, podemos encontrar los dos valores solución de x que satisfacen la igualdad, para ello aplicamos la ecuación de la resolvente:

Una vez se haya resuelto la factorización de la ecuación de segundo grado nos podemos dar cuenta que la parábola corta al eje x en dos puntos, en x= 3 y x= 1.

[2.d] Para conseguir el corte con el eje y, esto solo ocurre en la condición de cuándo x=0, se resuelve siguiendo la siguiente metodología:

Cuando hacemos la sustitución de x=0 se cancelan los términos cuadráticos y lineales, quedando que la función parabólica corta al eje y en el punto y=3

[2.e] Gráfico de la parábola en geogebra 5.0.

[3] Para el caso de la tercera ecuación, esta representa una función racional, y como se nos pide encontrar las intersecciones con los ejes coordenados x e y, aplicamos la siguiente metodología:

[3.a] La intersección con el eje x es cuando y=0, lo que implica que:

Cuando y=0 implica que la función racional corta al eje x en X=1.

[3.b] La intersección con el eje y es cuando x=0, lo que implica que:

Cuando x=0 la función racional corta al eje y en y=0,5.

[3.c] Para observar el comportamiento del gráfico de la función racional les presento el gráfico con el software matemático geogebra 5.0:

[4] Para el caso de la cuarta ecuación, esta representa una función racional que no tiene cortes con los ejes coordenados cartesianos. Sin embargo quiero mostrarles la demostración matemática del porque no tiene corte con los ejes coordenados x e y.

[4.a] Intersección con el eje y si x=0, implica que:

Cuando se sustituye x=0 se tiene que la división entre cero no está definida, sin embargo aplicando las teorías básicas de cálculo infinitesimal de limite y continuidad de una función real pudiéramos evaluar el comportamiento de la función cuando x se aproxima a cero. Mediante esta demostración llegamos a la conclusión que la función racional no tiene intercepto con el eje y, sino más bien que el eje y funciona como asíntota vertical de la función racional.

[4.b] Intersección con el eje x si y=0, implica que:

Para este caso llegamos a la misma conclusión que el intercepto con el eje y, en el sentido que no existe corte con el eje x, ya que la división entre cero no está definida, el eje x funciona como asíntota horizontal.

[4.b] Comportamiento de la función según el gráfico de xy=4 empleando el software matemático geogebra 5.0.

Conclusiones y lecciones aprendidas

[1] En esta sección del capítulo de preparación al cálculo del libro de Larson volumen I se analizan los ejercicios de repaso propuestos en la página 37 con el objetivo principal de comparar los resultados algebraicos arrojados por cada ecuación y su gráfico empleando el software matemático geogebra 5.0.

[2] Para el desarrollo de las operaciones algebraicas empleadas para encontrar los intercepto de los ejes coordenados x e y de la función lineal y función cuadrática podemos llegar a la conclusión que las funciones lineales siempre van a tener cortes con los ejes x e y, mientras que la función cuadrática siempre va a tener intercepto con el eje y, pero los cortes con el eje x van a depender de si la ecuación de segundo grado tenga o no tenga solución.

[3] Para el caso de las funciones racionales es muy importante evaluar la continuidad para los valores donde x sea discontinua, ya que para los valores que pueda tomar x que sea discontinua existen asíntotas verticales y horizontales. Para el caso particular de la tercera ecuación que es una función racional, esta tiene intercepto con los ejes coordenados x e y, sin embargo hay que analizar la continuidad para x= 1 y x= 2, ya que para estos valores la función es discontinua.

[4] Tenemos que la última ecuación representa una ecuación racional que no tiene cortes con los ejes cartesianos, y que el eje x e y son asíntotas horizontales y verticales respectivamente y que pueden ser verificables con el gráfico empleando geogebra 5.0, las razones demostrativas por las cuales no tienen intercepto es que cuando se despaja cada variables, la otra queda dividiendo, y que cuando se hace x=0 y Y=0 decimos que la división entre cero no está definida y que el único análisis respectivo es mediante la teoría de límite y continuidad que será abordado en capítulos posteriores de esta serie temática.

[5] Otro punto a considerar es que la ecuación de segundo grado planteada como la segunda ecuación a resolver representa una parábola cuyo vértice tiene las coordenadas del punto apreciable en el gráfico de geogebra 5.0 y que es (2,-1) y que aunque no se calculó se puede decir que se puede encontrar mediante completación de cuadrado o utilizando las aplicaciones de la derivada de máximos y mínimos relativos con el criterio de la primera derivada para extremos relativos que será abordados en capítulos posteriores.

[6] El abordaje y aprendizaje que pueda realizar cualquier estudiante de ingeniería y ciencias con la solución de los ejercicios del 1 al 4 del capítulo [P] (preparación al cálculo] ejercicios de repaso propuestos en la página 37 del libro de Larson que puede encontrar en este artículo, le proporciona las herramientas necesarias para poder analizar y evaluar ciertas premisas en el orden de las ecuaciones, polinomios, álgebra, necesarios para abordar temas como límite y continuidad de una función y aplicaciones de la derivada que pueden dar respuestas a ciertas interrogantes que surjan en la resolución de los ejercicios del 1 al 4 del capítulo P de la página 37 del libro de Larson.

Se despide de ustedes su amigo @carlos84, esperando que este nuevo episodio de aprendizajes del cálculo puedo significar una herramienta muy importante para apasionarse por esta hermosa materia, que bastante utilidad nos da en el estudio de la ciencia y la ingeniería.

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Nota: Todas las imágenes, gráficos y ecuaciones son de mi autoría, y fueron elaboradas empleando las herramientas de diseño de microsoft word y microsoft powerpoint.

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Referencia consultada

Libro de cálculo de Larson y Hostetler. Volumen I. Dirección web del libro

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