Teorema de Castigliano
Introducción
Posiblemente cuando estamos frente a un análisis de una estructura compleja, el primer pensamiento es un proceso largo y tedioso de solución. Para enfrentar estas situaciones, actualmente se disponen de computadores que se encargan de esto. Pero en tiempos de antaño los ingenieros durante el proceso del diseño, requerían de métodos ingeniosos para superar las dificultades de cálculo.
El teorema de Castigliano puede significativamente reducir la complejidad abordando el problema desde el enfoque de la Energía de deformación de sistemas elásticos. Su aplicación principal es el cálculo de desplazamientos debido a la acción de cargas. También suele aplicarse para resolver sistemas hiperestáticos.
El teorema expresa que: "En mecánica estructural, el teorema de Castigliano establece que cuando un cuerpo elástico se deforma debido a varias cargas, el desplazamiento en cualquier punto y dirección se puede calcular como la derivada parcial de la energía de deformación total respecto a la carga aplicada en ese punto y dirección específicos."
En la figura 1 pueden ver el caso de una viga donde las cargas son una fuerza FB y un momento MC, y los desplazamientos que producen cada carga. Observar que la dirección del desplazamiento es el mismo que la de la carga según el teorema
Figura 1. Deflexión y pendiente producidas por cargas aplicadas
Para calcular en desplazamiento del punto B que es una deflexión de la viga se aplicaría la siguiente ecuación
Y si se quiere calcular el desplazamiento angular o pendiente justo en el punto C se aplicaría la siguiente ecuación
El paso siguiente es calcular la energía de deformación total. En este paso debemos obtener una ecuación de la energía como función de la cargas FB y MC . Recordar que la energía de deformación depende del tipo de carga interna que soporta el elemento. Los casos generales de energía de deformación se calculan con las siguientes ecuaciones:
Tensión/compresión
Flexión
Torsión
Corte por flexión (sección rectangular)
Donde:
Dimensión: L = Longitud del elemento
Cargas: P = Carga axial, M= Momento de flexión, T = Par de torsión, V = Fuerza cortante
Propiedades de sección: A = Área de la sección transversal, I = Momento de inercia, J = Momento polar de inercia
Propiedades elásticas: E = Módulo elástico, G = Módulo cortante.
En una estructura los diversos elementos suman energía de deformación por cada tipo de carga que produzca deformación. La habilidad del estudiante esta en reconocer que tipo de energía de deformación se produce y calcular la energía total. El Teorema de Castigliano es una aplicación del método de energía para el análisis estructural.
Esta parte corresponde a los fundamentos teóricos. En una segunda parte se realizará ejemplos de aplicación
Fuente: Robert C. Juvinall. Fundamentals of Machine Component Design. Fifth edition. JOHN WILEY & SONS, INC.