La solución de Euler al problema de Basilea
Leonhard Euler (1707-1783)
El problema de Basilea es el cálculo del valor exacto de la serie
Es muy fácil verificar que esta suma infinita converge, sin embargo encontrar el valor exacto de la suma es otro asunto.
Este problema fue inicialmente propuesto por Pietro Mengoli en 1644, el primero en resolverlo fue Leonhard Euler en 1734 cuando tenía 28 años de edad.
En el presente post, mostraré la solución dada por Euler. Para ese momento la demostración no era rigurosa, ya que esta se basa en el Teorema de factorización de Weierstrass. Este teorema permite expresar una función entera (función que es analítica en todo el plano complejo) como un producto infinito de factores que involucran los ceros de la función. Se puede pensar a este resultado como una generalización del Teorema Fundamenta del Álgebra. El Teorema de factorización de Weierstrass se demostró rigurosamente, a mediados del siglo XIX, sin embargo el enunciado, en algunos casos particulares era conocido en la época de Euler y asumido como cierto.
Hay otras demostraciones rigurosas del cálculo de la suma del problema de Basilea. Estas involucran el Teorema de los residuos o Series de Fourier. No presentaré aquí estos cálculos, solo la cuenta que dio Euler, la cual es muy bonita y elegante. Muestra que Euler tenía un dominio genial para hacer cálculos.
Considere la serie de Taylor de la función sen z:
Dividiendo entre z, se tiene
La raíces o ceros de la función sen z son: (kπ)-1, con k entero. El Teorema de factorización de Weierstrass permite descomponer esta expresión como un producto infinito. Por lo tanto:
Luego de realizar formalmente esta multiplicación infinita, se tiene una serie de potencias. El término asociado a la potencia z2 de esta serie de potencias es
Dos series de potencias son iguales si y sólo si los términos que acompañan las potencias son iguales, para todos la potencias. Por lo que si se comparan los términos que acompañan la potencia z2 en la serie (1) y la última expresión , se tiene la igualdad:
o equivalentemente
Este problema tiene el nombre de la ciudad de Basilea, debido a que Euler vivía en ella y también era residencia de la familia Bernoulli, familia de matemáticos ilustres que trabajaron en la serie (entre muchos otros problemas):
La cual está relacionada con lo que se conoce hoy en día como los números de Bernoulli. Esta serie es el valor de la función zeta de Riemann en 2k, es decir ζ(2k). Pero no expondré este tema en el presente post.
Referencias:
https://en.wikipedia.org/wiki/Basel_problem
Henrici, P., "Applied and Computational Complex Analysis", Vol. 1, John Willey & Sons Inc. (1974).
https://en.wikipedia.org/wiki/Weierstrass_factorization_theorem
Referencia de la imagen: https://en.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler
Las fórmulas matemáticas fueron tipografeadas por mí en LaTeX.
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Gracias.
Amigo @nenio, gracias por compartir la elegante solución dada por el gran Euler al problema de Basilea, uno de los más prolíficos matemáticos de todos los tiempos, del cual soy admirador.
Euler era un gran genio de los cálculos. Gracias por el comentario.