Que eran , y que son, los irracionales pues, nada más y nada menos, que aquellos números que no se pueden expresar como el cociente entre dos enteros tal como sucedió , con los pitagóricos en el siglo V a. C, con la diagonal del cuadrado de lado 1 que originó el atormentador descubrimiento.

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Decimos atormentador porque recuerden amig@s que para los pitagóricos, genios de la matemática del momento que referimos, todo se podía expresar, y representar, con los números conocidos, es decir, con los enteros y las fracciones.

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Pero esto no estaba siendo posible con la diagonal del cuadrado de lado 1 (el más simple de los cuadrados), puesto que no había número entero, ni fracción, cuyo cuadrado fuese igual a 2 según lo referíamos en el post anterior, por lo tanto, el número que pudiese asumir aquel papel representaría algo así como un número inexpresable, sería irracional.

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Demostración.

El método utilizado por los pitagóricos fue Reducción al Absurdo (se acuerdan del creador del método, Hipócrates de Quíos, ya se los refería en un post anterior (Hopócrates ¿Médico o Matemático?) .

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Comenzaron por suponer, los pitagóricos, que existía una fracción a/b cuyo cuadrado era igual a dos, en tanto:

Hipótesis supuesta, la que debe conducir a una conclusión que representaría un absurdo

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Tómese como fracción la más simple, o pequeña, es decir, la irreductible cuyos términos, numerador y denominador sean primos, en tanto, no admiten más denominador en común que la unidad. Por lo tanto, a y b no pueden ser los dos números pares.

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Luego, si:

entonces

,

entonces

es par, porque es igual "a" un duplo. Pero sólo el cuadrado de un par es par, entonces "a" es par.

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Si "a" es par, entonces es un duplo, por ejemplo, de un número "c" , por lo que se podría escribir:

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Volvamos, ahora, a la igualdad

y remplacemos "a" por su equivalente en

Tenemos ahora lo siguiente

por lo que:

luego

dividiendo ambos miembros por 2, resulta:

por tanto

es un duplo, por tanto:

es par, y siendo que el cuadrado de un par solamente es un número par, necesariamente b es par.

Obtenían entonces los pitagóricos, en la demostración, que tanto a como b resultaban ser números pares , pero ello era absurdo pues por ellos comenzaron por considerar, en la hipótesis supuesta, que ambos, a yb, no pueden ser pares a la vez. Toda la contradicción proviene de haber supuesto, el absurdo, que existía una fracción cuyo cuadrado era 2.

Ya así queda demostrado que no existe fracción cuyo cuadrado sea igual a 2, es decir, la diagonal de un cuadrado no se puede representa como el cociente entre dos enteros y esos números que no se pueden expresar como el cociente entre dos enteros reciben el nombre de ¡IRRACIONALES¡