El infinito
Pocas cosas te harán sentir más pequeño que el concepto de infinito. Pero antes de empezar, es importante que primero comprendas esto: hay más de un tipo de infinito.
De hecho, hay infinitos infinitos, y algunos infinitos son más grandes que otros. Y cuando se trata de comparar infinidades, los resultados pueden parecer contradictorios. Aquí hay un ejemplo: puede haber tantos números entre 0 y 1 como entre 0 y 2.
Comencemos con el infinito, algo que sigue y sigue y sigue para siempre. Porque puedes contar 1, 2, 3 ... para siempre, hay infinitos números enteros. Pero, espera, podrías hacer lo mismo con solo números primos. Pues ya entiendes cuando digo que hay 'diferentes tipos de infinito'
Los números de los que estamos hablando se llaman números naturales, y son solo una pequeña rama en el árbol de números en general. Si los números son todos un gran paraguas, la categoría en la parte superior que abarca todo lo que sigue a continuación son los números reales. Un número real puede ser 3, o puede ser √3, e incluso puede ser 0.23412, todos son reales.
Comparar los conjuntos infinitos de números naturales (números enteros y cero, básicamente) es fácil, el numero que le sigue al anterior es solo '1' mayor. Estos se llaman conjuntos contables porque...puedes contarlos, los matemáticos no tienen mucha imaginación.
La diferencia entre 0 y 1 es 1, y la diferencia entre 0 y 2 es 2. Pero eso es solo en términos de enteros enteros. Hablemos del infinito. Hay números infinitos entre 0 y 1; piensa en tomar 0.1 y dividirlo por 10 una y otra vez para siempre. El número se vuelve infinitamente pequeño y nunca llega a cero. El conjunto de números entre 0 y 1, entonces, es un conjunto infinito. Del mismo modo, hay una cantidad infinita de números entre 0 y 2. En esos términos simples, puede equiparar los dos conjuntos.
Conjuntos incontables es con lo que estamos tratando para números reales. Si comienza en 1.0, ¿el próximo número en el conjunto infinito es 1.1? ¿O es 1.01? No hay espacios entre los números en la recta numérica real, por lo que son innumerables, por lo que no se pueden comparar con los conjuntos contables.
Cada número real es esencialmente un infinito dentro de sí mismo, porque puede tener infinitos puntos decimales. Habiendo dicho eso, es bastante claro ver que estos conjuntos incontables y abrumadoramente masivos son más grandes que los contables.
Este conocimiento llevó a los matemáticos a preguntarse: si hay conjuntos infinitos grandes y pequeños, ¿podemos tener infinitos medios también? Voilà! Esta pregunta es la 'hipótesis del continuo' y es literalmente uno de los problemas sin resolver más grandes de las matemáticas. En 1900, el matemático alemán David Hilbert hizo una lista de 23 de los problemas más importantes en matemáticas. La hipótesis del continuo esta en el top.
Rechazar la hipótesis del continuo significaría que hay infinitos de tamaño mediano; demostrando que significa que solo hay grandes y pequeños. En 1940, el matemático Kurt Gödel demostró que no podía refutarse dentro de los axiomas habituales de las matemáticas, es decir, la teoría de conjuntos. En la década de 1960, el matemático Paul Cohen demostró que la teoría del conjunto no puede probar la hipótesis del continuo, y así ganó la Medalla Cohen the Fields, el más alto honor en matemáticas.
Una pregunta particular relacionada con el infinito ha persistido desde la década de 1940, incluso después del trabajo de Gödel y Cohen: El problema de 'p y t'. Los matemáticos creían que si pudiéramos resolver este problema, podríamos resolver de una vez por todas esa hipótesis del continuo. Y, como mencione al comienzo, en 2016 se resolvió.
Maryanthe Malliaris y Saharon Shelah son los dos matemáticos que publicaron una prueba de este problema y fueron honrados en julio de 2017 con uno de los principales premios en el campo de la teoría de conjuntos. Pero, ¿qué resolvieron?
La pregunta en cuestión pregunta si P (una variante de infinito) es igual a T (otra variante de infinito). Tanto P como T cuantifican el tamaño mínimo de las colecciones de subconjuntos de los números naturales en formas precisas. Los detalles de P y T no son importantes; solo debes saber esto: ambos conjuntos son más grandes que el conjunto infinito de números naturales, y P siempre es menor que o igual a T. Si P es menor que T, entonces P sería un infinito mediano y la hipótesis del continuo sería falsa.
En 2011, Malliaris y Shelah comenzaron a trabajar en un problema totalmente diferente.En el proceso, se dieron cuenta de que también estaban, de alguna manera, avanzando accidentalmente con el dilema P y T. Así que se fueron con eso. Ambos publicaron un documento de 60 páginas que resolvió su problema inicial y el famoso problema de P y T al mismo tiempo. Al probar que P y T son igualmente complejos, concluyeron que P es igual a T.
Lo demostraron diseñando su propio carril entre dos ramas de las matemáticas: la teoría de conjuntos y la teoría de modelos. Su trabajo ya está abriendo nuevas fronteras de investigación en ambos campos. ¿Por que importa? Cuanto más sepamos sobre las matemáticas, más podremos entender las formas misteriosas del mundo que nos rodea.
El infinito es tan extraño que incluso las teorías más extrañas podrían ser ciertas, probablemente, quizás. ¿Por qué no?
Hola random steemian leyendo esto, saludos desde el otro lado del internet. Si te gustó mi post te invito a que comentes y me sigas, en especial si crees que la interacción entre usuarios es positiva para Steemit.
Fuentes:
Me gustó la información y concuerdo con que los matemáticos y los que estudiamos física somos bien creativos con los nombres. Y sí, una vez un Doctor en matemáticas, que es mi profesor actual dijo : "Van a salir bien loquitos de ésta carrera, aprovechen que están cuerdos ahorita."
Y sí, ahorita ya estoy bien loquito de saber todo ésto, los números complejos , ecuaciones homogéneas... Pff XD
Puedo decir que tienes una forma muy clara de contarlo, pero ¡los conceptos se me escapan! Es alucinante.
Saludos