Differential Equations of Variables Separable

gary.nunez (40)in #spanish • 7 years ago (edited)

Source: YouTube 1280 × 720 Differential Equations (GATE): Variable Separable Form l Solution of Differential Equation

Solving a differential equation is finding all its solutions, that is, finding its solution set.

In the study of differential equations, it is common to interpret: ${y}'=\frac{dy}{dx}$ as the quotient of differentials.

In this way, for example, if the differential equation is:

$\frac{dy}{dx}=\frac{M(x.y)}{N(x,y)}$ , this can be written as: $M(x,y)dx-N(x,y)dy=0$ . This expression of the differential equation will be denoted as its differential form.

A differential equation of the form:

${y}'= \frac{dy}{dx}= f(x.y)$ , It is of separate variables if we can write it of the form: $g(y)dy=h(x)dx$ .

The method to solve a differential equation of separable variables consists in separating its variables through algebraic operations or mathematical artifices, after achieving the separation of the variables proceed to integrate, ie:

$\int g(y)dy=\int h(x)dx\Rightarrow \alpha (y)+c_1{}= \beta (x)+c_2{}\Rightarrow \alpha (y)-\beta (x)= c_2{}-c_1{}, \textup{con c= } c_2{}-c_1{}$ Therefore, the general solution of the differential equation is: $\alpha (y)= \beta (x)+c$ . We illustrate this method with the following examples.

Example 1: Solving $(1+x)dy-ydx= 0$ .

Solution:

Let's separate the variables:

$(1+x)dx-ydx=0\Rightarrow (1+x)dy= ydx\Rightarrow \frac{dy}{y}= \frac{dx}{1+x}$ To integrate: $\int \frac{dy}{y}= \int \frac{dx}{1+x}+C\Rightarrow \ln (y)= \ln (1+x)+C$

Using properties of the logarithms and considering that $e^C{}=C$

$e^{\ln (y)}= e^{\ln (1+x)+C}\Rightarrow y= e^{\ln (1+x)}e^{C}$ Therefore, the general solution of the differential equation is: $y=(1+x)C$

#science #mathematics #steemiteducation #steemstem

7 years ago in #spanish by gary.nunez (40)

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ginnettenz (40) 7 years ago

Very good!! 👍🏻

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gary.nunez (40) 7 years ago

Thanks ball, a hug and a kiss

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mortysanchez (44) 7 years ago

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gary.nunez (40) 7 years ago

Gracias por la información, saludos

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