APRENDIENDO A DESARROLLAR EL DIAGRAMA MOMENTO-ROTACIÓN DE UNA VIGA DE ACERO CON LA APLICACIÓN DEL MÉTODO DEL ÁREA DE MOMENTOS
INTRODUCCIÓN
En esta oportunidad, estaré demostrando la aplicabilidad de los datos provenientes de un diagrama momento-curvatura, para la obtención del diagrama momento-rotación de un elemento estructural, con la aplicación del método del área de momentos, el cual es de utilidad cuando se desean calcular rotaciones y deflexiones. En la imagen N°01, podemos apreciar las distintas variables que intervienen en la aplicación del método, a través de la idealización conceptual de un caso real.
Imagen N°01: idealización conceptual para la aplicación del método del área de momentos
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Fuente: VAMISA, adaptada por Santana (2018)
Entre estas variables, resaltan la curvatura cedente (θy (rad/cm)) , asociada a la cedencia de las fibras extremas de la sección y la curvatura última (θpult(rad/cm)), la cual hace referencia a la plastificación total de la misma. Para una mejor comprensión de la obtención de estos valores de curvatura, te invito que revises mi post (https://steemit.com/sismo-resistencia/@eliaschess333/abordaje-didactico-para-la-obtencion-de-diagramas-momento-vs-curvatura-tomando-como-referencia-un-perfil-de-acero).
Al mismo tiempo, se aprecia en la imagen N°01 la variable “Lp”, que significa “longitud de rótula plástica o articulación plástica”, y tiene que ver directamente con la ductilidad que pueda desarrollar el elemento estructural, es decir, su capacidad de incursión en el rango inelástico.
En líneas generales, estas variables definen las dimensiones de los polígonos, que se generan, y el cálculo del área de estos, permitirá encontrar la rotación ∅(rad), tanto cedente como última que se produce en el elemento estructural, para así determinar la ductilidad del mismo, permitiendo de este modo idealizar un caso real como se aprecia en la imagen N°01, y afianzar así conceptos de importancia en la ingeniería sismo-resistente.
La información que se obtiene en la elaboración del diagrama momento curvatura está referida a un estado de cedencia de la sección, en el que las fibras extremas alcanzan ε_y, y varios estados de progresión de la cedencia hacia las fibras internas de esta, que producen la plastificación total; no obstante, debemos tener muy presentes que la sección no es más que la representación transversal del elemento estructural; por ejemplo en la imagen N°01, se aprecia la viga (elemento estructural), de sección “I”.
Por lo tanto conviene imaginarse ahora una carga “P” que al aplicarse al elemento estructural, incrementándose de forma gradual hasta alcanzar Pu, es capaz de producir la plastificación total en una zona de este, que se extiende a un área de influencia (ver imagen N°02); en ese instante desaparece todo momento resistente, y se alcanzan grandes rotaciones, con pequeños incrementos de esfuerzos, por lo que se está en presencia de una articulación o rótula plástica, y este aspecto puede ser representado gracias al uso de los diagramas momento rotación.
Imagen N°02: articulación plástica
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Fuente: McCorma (2002)
En lo referente a la aplicación del “MÉTODO DEL ÁREA DE MOMENTOS”, conviene aclarar ciertos aspectos conceptuales, provenientes de la estática y que se ilustran en la imagen N°03:
Imagen N°03: diagrama de corte y momento, viga simplemente apoyada, carga puntual en el medio del tramo
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Fuente: Santana (2018)
Se aprecia en la imagen N°03, que el momento máximo, está ocurriendo en el medio del tramo, producto de la carga puntual P, la cual se incrementará hasta lograr la cedencia y plastificación de toda la sección, cuyo daño se extiende a una zona de influencia; y que todo en conjunto representa una condición de rótula plástica. Partiendo de estos hechos, se ilustra en la imagen N°04, las curvaturas cedentes y última en el medio del tramo, cuyo cálculo es necesario para la elaboración del diagrama momento-rotación, donde se estará aplicando el método de área de momentos, para el cálculo de rotaciones y deflexiones máximas alcanzadas.
Imagen N°04: planteamiento de datos provenientes del diagrama momento-curvatura
)
Fuente: Santana (2018)
Al partir de que en el medio del tramo se está produciendo una articulación plástica, es decir, no hay existencia de momento resistente en esa zona, podemos imaginar el elemento estructural, dividido en dos partes:
Imagen N°05: idealización del concepto de rótula plástica
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Fuente: Santana (2018)
Este hecho, permite aproximar el problema de una viga simplemente apoyada con una carga en el medio del tramo, a una viga en voladizo, con una carga en el extremo como se ilustra a continuación:
Imagen N°6: simplificación del problema a una viga simplemente apoyada
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Fuente: Santana (2018)
Al contrastar la imagen N°03 y la N°06, se observa que se alcanza el mismo momento máximo, lo que le da confiabilidad a la simplificación realizada; el propósito de esta simplificación es para ilustrar de mejor manera el tema de la “rótula plástica”, para la posterior elaboración del diagrama momento-rotación, dado que un empotramiento se caracteriza, por impedir desplazamientos y rotaciones; no obstante, al producirse la cedencia, y la plastificación progresiva de la sección, con la consecuente extensión del daño a una zona de influencia (ver imagen N°02) la resistencia al momento va desapareciendo cada vez más, hasta producirse la articulación plástica. En la imagen N°07, podemos observar la representación de los datos de curvatura de la sección, y en la imagen N°08, se especifica una variable clave a definir en la aplicación del método de momento de área como lo es la longitud de la rótula plástica “Lp”. Al respecto señala McCorma (2002) que para un perfil W, esta se extiende a un octavo del claro conforme a la fórmula abajo señalada; y esto aplica a secciones "I" que es el caso en estudio.
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Imagen N°07: planteamiento de los datos del diagrama momento curvatura, en la viga en voladizo
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Fuente: Santana (2018)
Imagen N°08: representación de variables para la aplicación del método de área de momentos
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Fuente: Santana (2018)
Al analizar la imagen N°08, y por aplicación del método del área de momentos, se deducen las siguientes relaciones:
a.- Estado de cedencia fibras extremas de la sección – comienzo de formación de rotula plástica en el elemento
)
b.- Estado de plastificación total de la sección – desarrollo de la rótula plástica en el elemento
)
Por lo que la rotación total (rad) y deflexión total (cm), en este estado, se obtiene a través de la suma de áreas y momentos de área de la forma:
)
A continuación se presentan los datos del diagrama momento curvatura del Perfil VP120,cuyo cálculo detallado lo puedes encontrar en el post (https://steemit.com/sismo-resistencia/@eliaschess333/abordaje-didactico-para-la-obtencion-de-diagramas-momento-vs-curvatura-tomando-como-referencia-un-perfil-de-acero).
Tabla N°01: sinopsis de datos del diagrama momento curvatura de la sección
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Fuente: Santana (2018)
Calculamos la longitud de rótula plástica Lp:
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Los estados a considerar para encontrar las rotaciones del elemento estructural son dos, en concordancia con los pasos señalados en la tabla N°01:
a.- Cedencia fibras extremas de la sección – comienzo de formación de rotula plástica en el elemento
)
b.- Plastificación total de la sección – desarrollo de la rótula plástica en el elemento
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Procedemos hacer un resumen de resultados, para la posterior construcción del diagrama momento rotación, en el cual los cambios de pendiente apreciados, son una excelente representación matemática de la degradación de la rigidez, producto de la acumulación de daño, lo que se traduce en la formación de la rótula plástica, y es un indicativo de la ductilidad que el elemento desarrolla.
Tabla N°02: tabulación de datos diagrama Momento-Rotación perfil VP 120
)
Fuente: Santana (2018)
Imagen N°09: construcción del diagrama momento rotación
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Fuente: Santana (2018)
La ductilidad del elemento viene dada por:
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Dicha ductilidad (u), se puede contrastar con la ductilidad de la sección, de la forma:
)
Un aspecto de trascendencia en la ingeniería sismoresistente, es la capacidad de disipación de energía del elemento estructural, dado que por medio de un daño controlado, se puede mantener la estabilidad de la estructura ante sismos de altas magnitudes; de allí, que la acumulación de ese daño sea en aquellos elementos que no comprometan la estabilidad, es decir, las vigas; siendo esta la base para afianzar otros aspectos de importancia en esta rama de la ingeniería como lo son el diseño por capacidad, análisis estáticos no lineales, detallado sismo resistente de elementos, criterio columna fuerte-viga débil y otros; aspectos que en futuras publicaciones estaré abordando. Ahora bien, entre las conclusiones de mayor interés que sintetizan de alguna manera, el aprendizaje adquirido en este trabajo, son:
1.- En la medida que se incorporando elementos al análisis, la ductilidad irá disminuyendo; hasta llegar a la ductilidad más cercana a la realidad, que es cuando se modela el sistema estructural; se puede concluir por lo tanto que:
)
2.-Los cambios de pendiente apreciados en la imagen N°09, son un indicativo de la degradación de la rigidez, producto de la acumulación de daño, lo que se debe a la formación de la rótula plástica en el elemento, aspecto fuertemente ligado a la ductilidad que este desarrolla.
1.- McCORMAC J. DISEÑO DE ESTRUCTURAS DE ACERO, MÉTODO LRFD. ALFAOMEGA GRUPO EDITOR, S.A. 2002
2.- PYTEL A. Y SINGER F. RESISTENCIA DE MATERIALES. ALFAOMEGA GRUPO EDITOR S.A. 1987
3.-GALERÍA DE FOTOS DE ALGUNOS PROYECTOS REALIZADOS POR VAMISA, DISPONIBLE EN: http://vamsa.biz/vamisa.html
4.- ABORDAJE DIDÁCTICO PARA LA OBTENCIÓN DE UN DIAGRAMA MOMENTO CURVATURA PARA UNA SECCIÓN DE ACERO, ASPECTO DE IMPORTANCIA EN LA INGENIERÍA SISMO-RESISTENTE, DISPONIBLE EN: (https://steemit.com/sismo-resistencia/@eliaschess333/abordaje-didactico-para-la-obtencion-de-diagramas-momento-vs-curvatura-tomando-como-referencia-un-perfil-de-acero).
Imagen N°01: idealización conceptual para la aplicación del método del área de momentos
Fuente: VAMISA, adaptada por Santana (2018)
Entre estas variables, resaltan la curvatura cedente (θy (rad/cm)) , asociada a la cedencia de las fibras extremas de la sección y la curvatura última (θpult(rad/cm)), la cual hace referencia a la plastificación total de la misma. Para una mejor comprensión de la obtención de estos valores de curvatura, te invito que revises mi post (https://steemit.com/sismo-resistencia/@eliaschess333/abordaje-didactico-para-la-obtencion-de-diagramas-momento-vs-curvatura-tomando-como-referencia-un-perfil-de-acero).
Al mismo tiempo, se aprecia en la imagen N°01 la variable “Lp”, que significa “longitud de rótula plástica o articulación plástica”, y tiene que ver directamente con la ductilidad que pueda desarrollar el elemento estructural, es decir, su capacidad de incursión en el rango inelástico.
En líneas generales, estas variables definen las dimensiones de los polígonos, que se generan, y el cálculo del área de estos, permitirá encontrar la rotación ∅(rad), tanto cedente como última que se produce en el elemento estructural, para así determinar la ductilidad del mismo, permitiendo de este modo idealizar un caso real como se aprecia en la imagen N°01, y afianzar así conceptos de importancia en la ingeniería sismo-resistente.
CRITERIOS UTILIZADOS PARA LA OBTENCIÓN DEL DIAGRAMA MOMENTO ROTACIÓN
La información que se obtiene en la elaboración del diagrama momento curvatura está referida a un estado de cedencia de la sección, en el que las fibras extremas alcanzan ε_y, y varios estados de progresión de la cedencia hacia las fibras internas de esta, que producen la plastificación total; no obstante, debemos tener muy presentes que la sección no es más que la representación transversal del elemento estructural; por ejemplo en la imagen N°01, se aprecia la viga (elemento estructural), de sección “I”.
Por lo tanto conviene imaginarse ahora una carga “P” que al aplicarse al elemento estructural, incrementándose de forma gradual hasta alcanzar Pu, es capaz de producir la plastificación total en una zona de este, que se extiende a un área de influencia (ver imagen N°02); en ese instante desaparece todo momento resistente, y se alcanzan grandes rotaciones, con pequeños incrementos de esfuerzos, por lo que se está en presencia de una articulación o rótula plástica, y este aspecto puede ser representado gracias al uso de los diagramas momento rotación.
Imagen N°02: articulación plástica
Fuente: McCorma (2002)
En lo referente a la aplicación del “MÉTODO DEL ÁREA DE MOMENTOS”, conviene aclarar ciertos aspectos conceptuales, provenientes de la estática y que se ilustran en la imagen N°03:
Imagen N°03: diagrama de corte y momento, viga simplemente apoyada, carga puntual en el medio del tramo
Fuente: Santana (2018)
Se aprecia en la imagen N°03, que el momento máximo, está ocurriendo en el medio del tramo, producto de la carga puntual P, la cual se incrementará hasta lograr la cedencia y plastificación de toda la sección, cuyo daño se extiende a una zona de influencia; y que todo en conjunto representa una condición de rótula plástica. Partiendo de estos hechos, se ilustra en la imagen N°04, las curvaturas cedentes y última en el medio del tramo, cuyo cálculo es necesario para la elaboración del diagrama momento-rotación, donde se estará aplicando el método de área de momentos, para el cálculo de rotaciones y deflexiones máximas alcanzadas.
Imagen N°04: planteamiento de datos provenientes del diagrama momento-curvatura
Fuente: Santana (2018)
Al partir de que en el medio del tramo se está produciendo una articulación plástica, es decir, no hay existencia de momento resistente en esa zona, podemos imaginar el elemento estructural, dividido en dos partes:
Imagen N°05: idealización del concepto de rótula plástica
Fuente: Santana (2018)
Este hecho, permite aproximar el problema de una viga simplemente apoyada con una carga en el medio del tramo, a una viga en voladizo, con una carga en el extremo como se ilustra a continuación:
Imagen N°6: simplificación del problema a una viga simplemente apoyada
Fuente: Santana (2018)
Al contrastar la imagen N°03 y la N°06, se observa que se alcanza el mismo momento máximo, lo que le da confiabilidad a la simplificación realizada; el propósito de esta simplificación es para ilustrar de mejor manera el tema de la “rótula plástica”, para la posterior elaboración del diagrama momento-rotación, dado que un empotramiento se caracteriza, por impedir desplazamientos y rotaciones; no obstante, al producirse la cedencia, y la plastificación progresiva de la sección, con la consecuente extensión del daño a una zona de influencia (ver imagen N°02) la resistencia al momento va desapareciendo cada vez más, hasta producirse la articulación plástica. En la imagen N°07, podemos observar la representación de los datos de curvatura de la sección, y en la imagen N°08, se especifica una variable clave a definir en la aplicación del método de momento de área como lo es la longitud de la rótula plástica “Lp”. Al respecto señala McCorma (2002) que para un perfil W, esta se extiende a un octavo del claro conforme a la fórmula abajo señalada; y esto aplica a secciones "I" que es el caso en estudio.
Imagen N°07: planteamiento de los datos del diagrama momento curvatura, en la viga en voladizo
Fuente: Santana (2018)
Imagen N°08: representación de variables para la aplicación del método de área de momentos
Fuente: Santana (2018)
Al analizar la imagen N°08, y por aplicación del método del área de momentos, se deducen las siguientes relaciones:
a.- Estado de cedencia fibras extremas de la sección – comienzo de formación de rotula plástica en el elemento
b.- Estado de plastificación total de la sección – desarrollo de la rótula plástica en el elemento
Por lo que la rotación total (rad) y deflexión total (cm), en este estado, se obtiene a través de la suma de áreas y momentos de área de la forma:
APLICACIÓN DE ASPECTOS CONCEPTUALES, EN LA OBTENCIÓN DEL DIAGRAMA MOMENTO ROTACIÓN PARA UNA VIGA DE 6 M DE LUZ, DE SECCIÓN I, PERFIL VP120
A continuación se presentan los datos del diagrama momento curvatura del Perfil VP120,cuyo cálculo detallado lo puedes encontrar en el post (https://steemit.com/sismo-resistencia/@eliaschess333/abordaje-didactico-para-la-obtencion-de-diagramas-momento-vs-curvatura-tomando-como-referencia-un-perfil-de-acero).
Tabla N°01: sinopsis de datos del diagrama momento curvatura de la sección
Fuente: Santana (2018)
Calculamos la longitud de rótula plástica Lp:
Los estados a considerar para encontrar las rotaciones del elemento estructural son dos, en concordancia con los pasos señalados en la tabla N°01:
a.- Cedencia fibras extremas de la sección – comienzo de formación de rotula plástica en el elemento
b.- Plastificación total de la sección – desarrollo de la rótula plástica en el elemento
Procedemos hacer un resumen de resultados, para la posterior construcción del diagrama momento rotación, en el cual los cambios de pendiente apreciados, son una excelente representación matemática de la degradación de la rigidez, producto de la acumulación de daño, lo que se traduce en la formación de la rótula plástica, y es un indicativo de la ductilidad que el elemento desarrolla.
Tabla N°02: tabulación de datos diagrama Momento-Rotación perfil VP 120
Fuente: Santana (2018)
Imagen N°09: construcción del diagrama momento rotación
Fuente: Santana (2018)
La ductilidad del elemento viene dada por:
Dicha ductilidad (u), se puede contrastar con la ductilidad de la sección, de la forma:
CONCLUSIONES
Un aspecto de trascendencia en la ingeniería sismoresistente, es la capacidad de disipación de energía del elemento estructural, dado que por medio de un daño controlado, se puede mantener la estabilidad de la estructura ante sismos de altas magnitudes; de allí, que la acumulación de ese daño sea en aquellos elementos que no comprometan la estabilidad, es decir, las vigas; siendo esta la base para afianzar otros aspectos de importancia en esta rama de la ingeniería como lo son el diseño por capacidad, análisis estáticos no lineales, detallado sismo resistente de elementos, criterio columna fuerte-viga débil y otros; aspectos que en futuras publicaciones estaré abordando. Ahora bien, entre las conclusiones de mayor interés que sintetizan de alguna manera, el aprendizaje adquirido en este trabajo, son:
1.- En la medida que se incorporando elementos al análisis, la ductilidad irá disminuyendo; hasta llegar a la ductilidad más cercana a la realidad, que es cuando se modela el sistema estructural; se puede concluir por lo tanto que:
2.-Los cambios de pendiente apreciados en la imagen N°09, son un indicativo de la degradación de la rigidez, producto de la acumulación de daño, lo que se debe a la formación de la rótula plástica en el elemento, aspecto fuertemente ligado a la ductilidad que este desarrolla.
FUENTES CONSULTADAS
1.- McCORMAC J. DISEÑO DE ESTRUCTURAS DE ACERO, MÉTODO LRFD. ALFAOMEGA GRUPO EDITOR, S.A. 2002
2.- PYTEL A. Y SINGER F. RESISTENCIA DE MATERIALES. ALFAOMEGA GRUPO EDITOR S.A. 1987
3.-GALERÍA DE FOTOS DE ALGUNOS PROYECTOS REALIZADOS POR VAMISA, DISPONIBLE EN: http://vamsa.biz/vamisa.html
4.- ABORDAJE DIDÁCTICO PARA LA OBTENCIÓN DE UN DIAGRAMA MOMENTO CURVATURA PARA UNA SECCIÓN DE ACERO, ASPECTO DE IMPORTANCIA EN LA INGENIERÍA SISMO-RESISTENTE, DISPONIBLE EN: (https://steemit.com/sismo-resistencia/@eliaschess333/abordaje-didactico-para-la-obtencion-de-diagramas-momento-vs-curvatura-tomando-como-referencia-un-perfil-de-acero).
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Esperamos contar con tus publicaciones de gran interés para los usuarios de steemit. Con el enfoque personal y análisis de estos temas tan importantes contribuirás a la difusión del conocimiento científico.
Gracias @iamphysical, para mi es un placer compartir con la comunidad, temas de interés en mis áreas de formación académica. Representa un gran reto la difusión de contenido científico, y al mismo tiempo una gran oportunidad para afianzar nuestros conocimientos. Saludos!