Forma y fondo de los objetos matemáticos/ El número e y el interés compuesto

Las primeras referencias sobre el número e se encuentran en los trabajos de John Napier publicados en 1618. En el desarrollo de sus trabajos sobre logaritmos, Napier usa como apéndice unas tablas que se creen fueron elaboradas por el ministro anglicano William Oughtred (1574-1660), éste había dedicado parte de su vida a la matemática; y en esas tablas había usado una constante para calcular los logaritmos; esa constante, hoy es conocida como La constante de Napier, es la que conocemos como el número e.

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John Napier (1550-1617) fue un matemático escocés cuyo mayor mérito fue el de definir por primera vez los logaritmos entre los años 1590 y 1617.

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Motivado por el interés de conseguir herramientas matemáticas que permitiera simplificar las tareas de cálculo en las operaciones, Napier construye su primera tabla de logaritmos en el año 1614; en ella describe cómo es posible usar los logaritmos para resolver problemas con triángulos.

Fue Napier quien le dió el nombre a estos entes matemáticos, para ello combinó las expresiones griegas logos que significa proporción y arithmos que significa número.

Pero fue el matemático, físico y filósofo suizo Leonhard Paul Euler (1707-1778) quien le dió nombre y reconocimiento a esa constante.

Euler usa por primera vez la letra e para identificarla en 1727 y posteriormente en una publicación escrita cuyo título es "Mechanica", en 1736.

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Pero no fue a través de los logaritmos que se llegó a una definición de e , fue el matemático y científico suizo Jacob Bernoulli (1654-1705) quien a través de un análisis matemático aplicado a asuntos económicos llega a definir a e como un límite.

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El partió del siguiente razonamiento:

Si se invierte un monto M a un interés del 100% en un periodo n veces al año; entonces:

Si el periodo es n=1, significa que los intereses se pagan al transcurrir el año, y el monto M se habrá incrementado al doble, esto es 2M.

Si los pagos se hacen en un periodo n= 2, es decir, dos veces al año; en el primer semestre el monto se habrá incrementado en M. (1,5) y en el segundo semestre se incrementará a [M. (1,5)].(1,5), lo cual puede ser expresado como M. (1,5)²= M(1+ 0.5)²=M(1 + 1/2)²= 2.25M.

Si se paga tres veces al año, esto es n=3, entonces el monto en el primer cuatrimestre el monto es M(1,3); en el segundo cuatrimestre el monto es M(1,3)(1,3), y para último cuatrimestre es M(1,3)(1,3)(1,3)=M(1,3)³= M(1 +0.3)³= M(1 + 1/3)³=2.37M.

Si el pago se hace trimestral se deduce entonces que el monto al final es de M(1,25)⁴=M(1 + 1/4)⁴= 2.44M.

Y así sucesivamente.

De tal forma que si los pagos son mensuales, entonces n=12, y el monto final viene dado por M(1 + 1/12)¹²=2.6130 M

Y a medida que n va creciendo el valor de la expresión (1 + 1/n)ⁿ se va aproximando a un valor que se puede expresar como el siguiente límite:
Lím(1 + 1/n)ⁿ
n→ ∞

Como se habrán dado cuenta, al final de cada operación aparece un factor constante elevado a una potencia que se identifica con el número de periodos en que se capitaliza el monto a interés compuesto, tal constante es tiende a un valor que se aproxima al número irracional e, pueden verificarlos en su calculadora.

Ese valor lo expresó Bernoulli como la constante que Euler llamó e

De manera que:

e = Lím(1 + 1/n)ⁿ
       n→ ∞

De tal forma que a través de este análisis económico se llegó: primero a la definición del número e como un límite; y segundo, al gran aporte matemático a las ciencias económicas como lo es el interés compuesto.

Referencias:
https://es.wikipedia.org/wiki/Logaritmo_natural
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_e