Existe en la naturaleza una belleza matemática, una belleza ordenada, eso se ve en la disposición de los pétalos de una flor, en la estructura del cuerpo humano, en la estructura de un cristal, en la disposición de las partes de una hoja, en fin, hay infinidad de ejemplos.

Fuente

Para Platón

La belleza que configura la armonía cuyos ejemplos han de ser “las curvas regulares, las repeticiones rítmicas y las figuras simétricas” (cfr. Crombie, 1979: 203)

Para Pitágoras, la belleza en la naturaleza tiene que ver con su armoniosa relación con los números:

La observación de múltiples relaciones numéricas o analogías al número en los fenómenos del universo, eran la convicción de que en los números y en sus relaciones «armoniosas»

Esa relación que Pitágoras encuentra entre los números y la naturaleza dió origen a una teoría matemática conocida popularmente como la Proporción Divina o Áurea.

Esa Proporción Divina o Áurea fue estudiada por Elucides, y se encuentra definida en su libro sobre los Elementos como la Definición VI.3, y dice así:

«... un segmento está dividido en media y extrema razón cuando el segmento total es a la parte mayor como la parte mayor es a la menor».

Pasemos a realizar un análisis matemático de esa expresión:

Consideremos el segmento mayor como aquel cuya longitud es la suma de las longitudes de los segmentos A y B, donde la longitud de A es mayor que la de B.

De tal forma que la proporción (recordemos que dos fracciones son proporcionales, si son iguales) entre la longitud del segmento A+B con respecto al segmento de mayor de longitud A, sea igual a la proporción de la longitud del segmento A con respecto a la del segmento B.

Esto es:
(A+B)/A= A/B
Transformando la primera parte de la igualdad como una suma de fracciones con igual denominador, nos queda así:
A/A +B/A= A/B
Pero recordemos que A/A=1
Por ello nuestra igualdad se reduce a 1 +B/A= A/B ♦

De tal forma que si llamamos a A/B, φ ( letra griega que se lee Fhi), entonces B/A es φ^-1

Por ello la expresión ♦ se nos transforma en:
1 + φ^-1=φ

Si multiplicamos a ambos lados de la igualdad por φ, nos queda:
φ +φφ^-1=φφ
φ + φ⁰=φ²
Pero como φ⁰= 1, entonces finalmente, ordenando y sustituyendo por el valor anterior e igualamos a 0, obtendremos:
φ² - φ -1 = 0

La cual es una ecuación de segundo grado que solucionaremos para φ, por lo cual nos queda así:

φ₁=(1 + √(1+4))/2= (1 + √5)/2

Y
φ₂=(1 - √(1+4))/2= (1 - √5)/2

Consideramos la raíz positiva φ₁, que ahora solo llamaremos φ y verifiquemos estas dos relaciones numéricas con respecto a ella:

La primera:
(1) Elevemosla al cuadrado:
[(1 + √(1+4))/2]²= [(1 + √5)/2] ² = 2.61803398875...

Y la segunda:
(2) Dividamosla entre 2, esto es: 1/[ (1 + √5)/2]
Aplicando propiedades de la división de fracciones, la expresión queda:
2/(1 + √5)=0.61803398875...

Si comparamos los resultados obtenidos en (1) y (2) se observa claramente una relación importante entre ambos resultados.

Este número φ= (1 + √5)/2 recibe el nombre de número áureo o número de oro, se consigue en diferentes áreas de la naturaleza; y es considerado paradigma de belleza en el arte y en la arquitectura; por cuanto se considera que la proporción de los segmentos es de perfecta belleza y armonía; y ha influenciado a casi todas las áreas del quehacer humano.

Mencionemos a continuación algunos ejemplos.

En arte:

En 1525, Alberto Durero publica Instrucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas y sólidas, donde describe cómo trazar con regla y compás la espiral áurea basada en la sección áurea, que se conoce como “espiral de Durero”.

En la religión

En 1509 el matemático y teólogo italiano Luca Pacioli publicó De Divina Proportione (La Divina Proporción), donde plantea cinco razones por las que estima apropiado considerar divino al número áureo:
La unicidad; Pacioli compara el valor único del número áureo con la unicidad de Dios.
El hecho de que esté definido por tres segmentos de recta, Pacioli lo asocia con la Trinidad.
La inconmensurabilidad; para Pacioli la inconmensurabilidad del número áureo y la inconmensurabilidad de Dios son equivalentes.
La autosimilaridad asociada al número áureo; Pacioli la compara con la omnipresencia e invariabilidad de Dios.
Según Pacioli, de la misma manera en que Dios dio ser al Universo a través de la quinta esencia, representada por el dodecaedro, el número áureo dio ser al dodecaedro.

En la arquitectura

El Partenón fue mandado construir por Pericles, en honor de la diosa Atenea.
Su realización fue encargada a los arquitectos Calícrates e Ictinios bajo la supervisión artística del maestro Fidias entre los años 447 y 432 a.C.
Fidias, utilizó en su construcción su conocimiento de la belleza y armonía inherentes al número áureo para fijar las dimensiones de todo el edificio y situar los detalles escultóricos.

El número de ejemplos es inagotable, pero dejémoslos hasta aquí por ahora.

Gracias por leerme.

Referencias
Crombie, I. M. (1979). Análisis de las doctrinas de Platón. Madrid: Alianza
http://numerodeoroivh4.blogspot.com/p/fi-y-el-arte.html
https://lalitotowers.wordpress.com/la-divina-proporcion-y-el-pentagrama-pitagorico/
http://www.ite.educacion.es/formacion/enred/web_espiral/matematicas/durero/espiral%20de%20durero.htm
http://numerodeoroivh4.blogspot.com/p/fi-y-el-arte.html