Theorema egregium i rozmaitości.

veteranz (50)in #polish • 7 years ago (edited)

Ten artykuł jest powiązany z artykułem o geometriach nieeuklidesowych. Zapraszam zatem najpierw do przeczytania tego drugiego dla lepszego zrozumienia tematu. Artykuł dostępny tutaj:

Theorema egregium

Po osiągnięciach matematyków w dziedzinie geometrii nieeuklidesowych przyszedł czas na uwieńczenie ich pracy. Carl Friedrich Gauss w 1827 roku udowodnił swoje twierdzenie wyborne (theorema egregium). Twierdzenie dotyczące powierzchni dwuwymiarowych, które przetarło szlak do dziedzin tak obszernych i autonomicznych, że nie sposób dzisiaj przebrnąć przez nie wszystkie w ciągu jednego życia. Wykazał on, że:

Krzywizna powierzchni jest niezmiennicza ze względu na dowolne przekształcenie, które nie zmienia odległości mierzonych na tej powierzchni.

Niepoprawnym z mojej strony byłoby pozostawienie tego bez komentarza, a zatem spróbujmy zrozumieć twierdzenie wyborne nieco głębiej. Mówiąc o krzywiźnie, która jest niezmiennicza mamy na myśli taką, która jest taka sama w każdym punkcie zakrzywionej powierzchni. Przykładem powierzchni o stałej krzywiźnie jest płaska powierzchnia lub sfera. Krzywizna płaskiej powierzchni jest zerowa, sfery natomiast dodatnia. Chyba każdy conajmniej raz w życiu spoglądał na mapę świata. Jeżeli nie, to jest ona przedstawiona na obrazku poniżej.

Charakterystyczną cechą mapy świata jest to, że jest ona przedstawiona na powierzchni o zerowej krzywiźnie (płaskiej). Wiemy jednak, że mapa ta odwzorowuje naszą planetę, która w przybliżeniu jest kulą. Aby ująć problem ściślej powinniśmy powiedzieć, że mapa świata jest odwzorowaniem brzegu kuli, która jest naszą planetą (brzeg kuli to sfera). Czy zatem płaska mapa świata jest wiarygodnym odwzorowaniem naszej planety? Gauss i jego theorema egregium mówi nam stanowcze nie! Nie da się odwzorować sfery na płaską powierzchnię zachowując przy tym odległości między punktami, ponieważ krzywizna sfery jest inna niż krzywizna płaskiej powierzchni! W topologii powiedzielibyśmy, że płaska powierzchnia nie jest homeomorficzna ze sferą. Nie istnieje ciągłe przekształcenie jednego w drugie (musimy rozerwać sferę, aby odległości były zachowane, a w topologii jest to niedopuszczalne). Konsekwencje tego faktu są takie, że nasze mapy świata są bardzo niedokładne. Jedyne dokładne odwzorowanie mapy na płaszczyźnie przedstawione zostało na obrazku poniżej.

Nie jest to jednak koniec. Twierdzenie wyborne to dopiero początek. Gauss publikując swoje wnioski nie był świadom tego, że jego praca utoruje drogę teorii, która w sposób absolutny zmieniła sposób patrzenia na geometrie, przyczyniła się do powstania geometrii różniczkowej i dała podstawy pod współczesną kosmologię i ogólną teorię względności. Ahh... Jakie musiało być jego odczucie, gdy uświadomił sobie, że dokonał tego jego własny uczeń.

Geometria Riemannowska

Theorema egregium uświadomiła matematykom jeszcze jedną ciekawą rzecz. Okazuje się, że możemy opisywać własności geometryczne powierzchni tylko i wyłącznie za pomocą współrzędnych krzywoliniowych. Oznacza to, że aby opisać w pełni trójwymiarowy obiekt nie musimy odwoływać się do trójwymiarowej przestrzeni, w której ten obiekt jest zanurzony. W 1854 roku Bernhard Riemann wygłasza wykład O hipotezach leżących u podstaw geometrii i burzy dotychczas panujące przekonania. Uogólnia on teorię swojego mentora na przestrzenie o wielu wymiarach, które nazwał rozmaitościami. Okazuje się zatem, że możemy opisywać obiekty n-wymiarowe odwołując się tylko i wyłącznie do obiektów (n-1)-wymiarowych. Teoria rozmaitości wprowadza nowy rodzaj myślenia o obiektach topologicznych, uogólniając przy tym odkryte wcześniej geometrię eliptyczną i hiperboliczną.

Rozmaitość

Przykłady są ważne. Tym razem jednak zacznę od historyjki.

Wyobraźmy sobie świat płaszczaków żyjących na dwuwymiarowej powierzchni. Załóżmy że doszły one do takiego wniosku co do kształtu ich świata, ponieważ udało im się odkryć geometrie euklidesową. Żyją sobie spokojnie w małej wiosce i postanawiają zbudować mur otaczający ich miejsce zamieszkania; lękają się potencjalnych agresorów, którzy być może gdzieś tam w ich świecie są. Zarządcy wioski rozkazują zatem swoim rzemieślnikom produkować cegły, a budowlańcom stawiać mur. Po pewnym czasie stosunek urodzeń do zgonów drastycznie wzrósł i wymagane było powiększenie wioski. Budowlańcy zatem poszerzali mur, a rzemieślnicy produkowali im cegły. Wraz z trwającą budową w wiosce pojawiało się coraz więcej małych płaszczaków, a więc rzemieślnicy i budowlańcy zmuszeni byli ciągle produkować cegły i poszerzać mur. Pewnego dnia grupa budowlańców dokonała oszałamiającego odkrycia (dotychczas rzemieślnicy produkowali idealną ilość cegieł do budowy muru. Ani za dużo, ani za mało). Zauważyli oni, że po zakończeniu pracy zostaje im pokaźna ilość niewykorzystanych cegieł! Czy to błąd w obliczeniach rzemieślników? Z początku tak sądzono; do czasu, aż rzemieślnicy przeprowadzili analizę ilości produkowanych cegieł. Wszystko się zgadzało, więc problem leżał gdzie indziej. Coś było nie tak. Postanowili dalej poszerzać mur, ponieważ mieszkańcy nie mieli gdzie mieszkać. Stała się rzecz niesłychana. Rzemieślnicy stali się zbędni. Wraz z poszerzaniem muru budowlańcy musieli usuwać z niego cegły, ponieważ było ich za dużo! Zarządcy nie wiedzieli co zrobić. Podążyli zatem do ich najsłynniejszego matematyka Bernharda, aby znalazł rozwiązanie tej dziwnej anomalii. Po chwili naszła go błyskotliwa myśl. A może nasz świat nie jest płaski jak sądziliśmy?. Opracował zatem nowy rodzaj geometrii z której wynikało, że jeżeli dalej będą poszerzać mur rozbierając go to w końcu cały mur zniknie. Zaufanie do Bernharda było wysokie, więc budowlańcy dalej poszerzali mur rozbierając go (dziwnie to brzmi). Kilka dni potem zdarzyła się kolejna dziwna sytuacja. Budowlańcy ze wschodu zaczęli zauważać na horyzoncie budowlańców z zachodu! Niedowiarki uświadomiły sobie w tym momencie, że stary Bernhard może mieć rację. Budowlańcy pracowali dalej, aż została im do rozebrania ostatnia kolumna muru. Bernhard miał rację! Mur zniknął! Podekscytowani pobiegli do Bernharda, żeby go poinformować o tym, że miał rację i żeby wytłumaczył im co się tak na prawdę stało. Powiedział on im:

Nasz świat nie jest taki jaki nam się wydawał. To że odnosiliśmy wrażenie jego płaskości patrząc na horyzont wynika z naszych małych rozmiarów w stosunku do wielkości naszego świata. Tak naprawdę, to nasz świat jest powierzchnią zakrzywioną. Jest kulą. To dlatego w pewnym momencie zaczęliście rozbierać mur. W momencie tym długość muru równoważna była obwodowi naszego świata. Aż w końcu mur zniknął. Nazwałem to rozmaitością.

Budowlańcy byli zdezorientowani. Ani jeden nie zrozumiał co Bernhard powiedział. Zarządcy natomiast łapali się za głowy i żałowali budowy muru mówiąc:

I po co to wszystko? Nie było wokół nas żadnych potencjalnych agresorów!

Rozmaitością nazywamy przestrzeń topologiczną, która lokalnie przejawia własności przestrzeni euklidesowej. Innymi słowy bliskie otoczenie dowolnego punktu rozmaitości możemy sukcesywnie opisywać geometrią Euklidesa. Globalnie natomiast jest ona zakrzywiona i geometria Euklidesa nie spełnia swojego zadania. Do globalnego opisu rozmaitości potrzebna jest nam geometria nieeuklidesowa. W topologii powiedzielibyśmy że otoczenie dowolnego punktu n-wymiarowej rozmaitości jest homeomorficzne z n-wymiarową przestrzenią euklidesową (istnieje ciągłe odwzorowanie otoczenia w przestrzeń euklidesową).

Najprostszym rodzajem rozmaitości są rozmaitości jednowymiarowe. Jest nią na przykład okrąg, czy elipsa. Jeżeli przybliżymy wystarczająco krzywą, która tworzy okrąg zauważymy, że jest ona prostą. Okrąg zatem globalnie jest zakrzywiony, lecz lokalnie przejawia geometrie euklidesową. Następnie mamy takie obiekty jak sfera, czy torus, które są przykładami rozmaitości dwuwymiarowych. Nazywamy je powierzchniami. Gdy przybliżymy powierzchnie sfery, zauważymy że powierzchnia ta jest płaska. Sfera zatem globalnie jest zakrzywiona, lecz lokalnie przejawia własności geometrii euklidesowej. Przypomnijmy sobie teraz mapę świata. Wiemy już, że sfera (brzeg kuli) jest dwuwymiarową rozmaitością. Wiemy również, że otoczenie dowolnego punktu sfery jest euklidesowe. Możemy zatem odwzorować otoczenie wybranego przez nas punktu sfery (w przypadku Ziemi może to być jakieś miasto) na płaską powierzchnię.

W teorii rozmaitości odwzorowanie takie nazywamy mapą. Analogicznie do map geograficznych. Przez to, że sfera różni się globalnie od płaskiej powierzchni, więc do odwzorowania całej sfery potrzebujemy większej ilości map. Zbiór wszystkich map nazywamy atlasem. Analogicznie do atlasu geograficznego. W ogólności rozmaitości n-wymiarowe potrzebują map n-wymiarowych, aby odwzorować je na przestrzeni euklidesowej
Dla przykładu jeżeli mamy pewien czterowymiarowy obiekt (trójwymiarową rozmaitość), to aby odwzorować ją na przestrzeni euklidesowej potrzebujemy map trójwymiarowych, które utworzą trójwymiarowy atlas. Arcytrudne zadanie dla wyobraźni.

Dodatek

Teoria rozmaitości pozwala nam na opis skomplikowanych struktur za pomocą przestrzeni euklidesowych, co znacznie ułatwia problem. Albert Einstein użył jej w swojej ogólnej teorii względności do opisu zakrzywienia czasoprzestrzeni. Czasoprzestrzeń w której przyszło nam żyć to w języku matematyki tak zwana rozmaitość riemannowska, a ściślej rozmaitość różniczkowa, która posiada własność umożliwiającą nam wykonywanie na niej działań takich jak różniczkowanie, czy całkowanie.