Hipoteza Riemanna — problem milenijny

Liczby pierwsze są nadzwyczaj ciekawym zjawiskiem w naszym świecie. Matematycy od setek lat łamią sobie głowy nad ich znaczeniem. Są takie niezwykłe z jednej prostej przyczyny: to liczby, które dzielą się przez 1 i przez samą siebie. Nie mają żadnych innych dzielników. Natomiast każdą inną liczbę nie-pierwszą można rozłożyć na czynniki składające się wyłącznie z liczb pierwszych. Ich występowanie w ciągu liczb naturalnych jest niezwykle interesujące, czasami pojawiają się w dużych skupiskach, a czasami znajdujemy je w odstępach np. kilkudziesięciu cyfr lub kilku milionów cyfr… Największa liczba pierwsza, która została znaleziona (grudzień 2017) ma ponad 23 miliony cyfr. Poszukiwania ciągle trwają. Tylko po co...?

Szwajcarski matematyk Leonard Euler (XVIII w.) doszedł do zaskakującego wniosku. Sformułował nieskończony szereg składający się z liczb pierwszych i postawił tezę, że suma tego szeregu dąży do wartości stałej równej kwadratowi liczby pi podzielonym przez 6:

Szereg jest istotnie zbieżny. Czy to nie intrygujące, że pozornie losowe liczby po zsumowaniu dają wartość stałą? Liczba „pi” jako stosunek obwodu koła do długości jego średnicy, ma nieskończone rozwinięcie. Związek liczb pierwszych z figurą o tak doskonałym kształcie pozwala na uzmysłowienie sobie, iż liczby pierwsze mogą nie być bez znaczenia. Że w tych pozornie rozrzuconych liczbach kryje się jakiś sens.

Bernhard Riemann poszedł o krok dalej, sformułował pojęcie funkcji dzeta i postawił hipotezę, która dotąd zostaje nieudowodniona:

Wszystkie nietrywialne miejsca zerowe funkcji "dzeta" leżą na linii prostej.

Riemann zauważył, że liczby pierwsze, które ówcześnie były znane, istotnie spełniają ten warunek. Niemniej jednak, nie było pewności, czy następne liczby pierwsze również będą go spełniały. Hipoteza Riemanna stanowi jeden z problemów milenijnych, za który Instytut Matematyczny Claya daje 1 milion dolarów.

Czy wszystkie nietrywialne zera funkcji dzeta leżą na linii krytycznej?

HR była przez lata okryta płaszczem tajemniczości, a kogoś kto pracował nad jej udowodnieniem nazwalibyśmy zwyczajnym matematycznym szurem. Sytuacja pogorszyła się jeszcze bardziej, gdy świat dowiedział się o historii Johna Nasha – noblisty, który biorąc się za udowodnienie HR popadł w schizofrenię. Popularny jest film, przedstawiający jego życie – Piękny umysł. W roli Johna Nasha występuje Russel Crowe. (Polecam!)

Hipoteza postawiona przez niemieckiego matematyka nie jest tylko problemem matematycznym. Okazuje się, że przyroda wokół nas jest pełna liczb pierwszych. Sztandarowym przykładem są cykady. Ich cykl życia trwa 13 lub 17 lat. Co 13 lub 17 lat wylęga się ich tak duża ilość, że mimo występowania drapieżników w miejscach wylęgu, są w stanie przetrwać i przedłużyć gatunek. Co by się stało, gdyby ich cykl życia trwał np. 12 lat? Drapieżnik, którego cykl życia trwa np. 6 lat, co drugie pokolenie trafiałby na bardzo duży wylęg cykad. Co się stanie, gdy cykl życia cykad wyniesie 13 lat? Kolejne spotkanie drapieżnika z dużym wylęgiem będzie dopiero po 6x13 lat, czyli drapieżnik będzie czekał 13 pokoleń (78 lat) na kolejny obfity obiadek! Cwane te cykady!

Matematycy na różne sposoby próbują udowodnić i odkryć porządek panujący w ciągu liczb pierwszych. Próbuje się m.in. znaleźć ilość liczb pierwszych w danym ciągu 100 liczb i spojrzeć na te pogrupowane zbiory z dalszej perspektywy. Czy istnieje jakaś prawidłowość? Inni matematycy badają z kolei różnice między zerami nietrywialnymi. Jednym z nich jest Hugh Montgomery, który odkrył, że funkcja rozkładu tych różnic jest równa:

Zbiegiem okoliczności doszło do spotkania Hugh Montgomery’ego z fizykiem Freemanem Dysonem. Okazuje się, że taką samą postać ma funkcja opisująca rozkład poziomów energetycznych jąder atomowych pierwiastków ciężkich takich jak np. uran. Udowodnienie hipotezy Riemanna miałoby ogromny wpływ na rozwój mechaniki kwantowej, pozwoliłoby opisywać cząsteczki na najbardziej elementarnym poziomie w sposób ścisły.

Na czym jeszcze polega potęga liczb pierwszych? Po co nieustannie trwają poszukiwania kolejnych? Liczby pierwsze mają zastosowanie także w kryptografii. Można tu chociażby przywołać popularny algorytm RSA (od nazwisk jego twórców: Rivest, Shamir, Adleman). Duże liczby pierwsze, składające się z milionów cyfr są używane przez banki do szyfrowania transakcji. Problem, w sensie matematycznym, sprowadza się do rozłożenia na czynniki liczby, która składa się z iloczynu klucza publicznego (ogromna liczba pierwsza) i klucza prywatnego (również ogromna liczba pierwsza). Klucze prywatne z algorytmu RSA przechowywane są w najbardziej strzeżonych sejfach. Cały szkopuł tkwi w tym, że ktoś, kto chciałby przechwycić transakcję, musi znać oba klucze, a ma dostęp tylko do klucza publicznego. Musi znaleźć czynnik, który razem z kluczem prywatnym daje określoną liczbę. Nie jest w stanie tego zrobić w krótkim czasie, zanim transakcja zostanie zrealizowana. Rozłożenie tak gigantycznej liczby, która nie byłaby iloczynem gigantycznych liczb pierwszych jest do zrobienia. Ale żeby znaleźć czynniki, którymi są liczby pierwsze trzeba dysponować niewiarygodną mocą obliczeniową komputera.
A zatem hipoteza Riemanna niesie za sobą również zagrożenie. Dzień jej udowodnienia będzie dniem narodzenia nowego, bardzo poważnego problemu dla kryptografii. Ale nie tylko. Kwestią czasu byłoby zastosowanie tego dowodu do innych dziedzin, takich jak np. genetyka, fizyka, inżynieria. W zamierzchłych czasach sądzono nawet, że badanie hipotezy Riemanna jest niczym igranie z boskim porządkiem, chęcią odkrycia tego, co winno być zatajone. Chęcią pozyskania wiedzy, która – gdy nie idzie w parze z mądrością – może być początkiem zagłady ludzkości.