Geometria a rzeczywistość
Pozostajemy jeszcze w temacie geometrii euklidesowej i nieeuklidesowej Bolyai-Łobaczewskiego. Po sformułowaniu zarysu nowej geometrii, w której V aksjomat Euklidesa jest zaprzeczony (przez jeden punkt może przechodzić nieskończenie wiele prostych równoległych do danej prostej) pojawił się kolejny problem. Skoro od ponad 2000 lat żyliśmy w przekonaniu, że geometria euklidesowa jest właściwym opisem świata fizycznego, to czy teraz coś się zmieniło? Zmienił się świat, zapis czy może ludzkość była w błędzie? Sprawa z aksjomatem równoległości nie kończy się na prostych — to byłoby zbyt trywialne. Geometria Bolyai-Łobaczewskiego implikuje szereg nowych, na pozór absurdalnych, twierdzeń — na przykład suma wewnętrznych kątów w trójkącie może być mniejsza niż 180 stopni.
Karol Fryderyk Gauss (1777 — 1855) postanowił to sprawdzić. Wybrał się w góry z przyrządami mierniczymi. Zmierzył kąty w trójkącie, który składa się z trzech odległych szczytów górskich. Wynik był jednoznaczny. Suma wewnętrznych kątów wyszła niemal równo 180 stopni (w granicach błędu przyrządów). Czy zatem ten eksperyment pogrzebał znów geometrię nieeuklidesową, która zaczęła kiełkować? Nic podobnego. Geometria Euklidesa stanowi w pewnym sensie graniczny przypadek geometrii Bolyai-Łobaczewskiego. Jest oczywiste, że nie mamy doskonałych przyrządów, ani doskonałych obietków doświadczeń. Jest jasne, że warunki, w których wykonujemy pomiary nie są doskonałe. A zatem pojawia się problem, na który nie mamy wpłwu – nie możemy odróżnić przypadku granicznego od jego przybliżeń. Jakkolwiek bliskie by one nie były.
Dla małych odległości (np. kilka–kilkanaście kilometrów) odchylenia w geometrii hiperbolicznej są tak niewielkie, że mieszczą się w granicach błędu pomiaru. A zatem doświadczenie Gaussa nie wykazało nic sensowego. Dla małych figur obydwie geometrie dają te same wyniki. Gdybyśmy jednak zrobili eksperymenty na relatywnie dużych odległościach (kilkadziesiąt-kilkaset milionów kilometrów — np. do opisu wszechświata) mogłoby się okazać, że geometria Euklidesa zawodzi. Cała ta historia jest analogiczna do mechaniki klasycznej Newtona i mechaniki relatywistycznej Einsteina. Oba podejścia są zbieżne dla małych odległości i prędkości. Natomiast jeśli zmienne rosną do ogromnych wartości — pojawiają się różnice.
Artykuł napisany jako luźne nawiązanie do tematu pierwszego 28. edycji Tematów Tygodnia.
zdjęcia: pixabay
Innymi słowy, geometria eklidesowa jest uproszczeniem, być może zbyt dużym, otaczającego nas świata? I dopiero odpowiednio dokładne narzędzia mogą pozwolić to odkryć.
Geometria euklidesowa jest w pewnym sensie uproszczeniem. Stanowi tylko szczególny przypadek. Ale podobnie jak mechanika newtonowska - umożliwia zapis wielu zjawisk w prosty sposób. Szczerze mówiąc to nie sądzę, żeby kiedykolwiek skonstruowano narzędzia, których błąd pomiaru będzie równy 0%. Brak możliwości udowodnienia geometrii Euklidesa ma swoje źródło raczej w istocie tej geometrii - czyli w wyidealizowanej i jednocześnie prostej formie.
A może problem tkwi w niewymierności, a nie w jakości przyrządów pomiarowych? Proszę np. pójść do stolarza i zamówić deskę o długości równej "pierwiastek kwadratowy z dwóch metrów". Choćby posiadał miarkę idealną - nie przytnie! :)
Tak, racja, to bardziej precyzyjne określenie. Dziękuję.
To w końcu: "mogłoby się okazać" czy "pojawiają się różnice"?
Z teorii wynika, że są różnice. Nie doszedłem, jednak do publikacji opisującej eksperyment, który by te różnice potwierdzał. Nie wiem nawet czy obecnie taki eksperyment jest możliwy.