Wiecie co się tak naprawdę w życiu liczy? Liczby się liczy.
Na przestrzeni wieków wynaleziono wiele sposobów na zapisywanie liczb. Znaleziono także wiele cech liczb, które w mniej lub bardziej sensownym celu, tworzą w całym zbiorze interesujące podzbiory. Chciałbym tutaj zaznaczyć ten mniej sensowny cel, którego odsetek procentowy jest z pewnością przytłaczający w stosunku do tego sensownego. Matematyk bowiem nie zajmuje się matematyką mając na uwadze tylko i wyłącznie konkretną aplikację formułek i wzorów. Pomijam tutaj wszelkie wynajmowanie matematycznych umysłów do spraw nie cierpiących zwłoki. Matematyk zajmuje się matematyką, bo ta go intryguje. Tylko tyle i aż tyle. I myślę, że tak jest w większości przypadków. A to, czy dana myśl znajdzie odbicie w rzeczywistości, nie jest aż tak istotne, często droga do wielkich odkryć wiedzie przez mocno abstrakcyjne szlaki. To już druga dygresja.
Wracając do tematu. Zapis liczb. Jedną z najprostszych cech, którą każdy z nas zna jest cecha parzystości. Są liczby parzyste i nieparzyste. Ale matematyk idzie dalej. Jego myśli kierują się w stronę kwadratów liczb, sześcianów liczb, w stronę liczb zaokrąglonych. Matematyk myśli o liczbach Fibonacciego, Liouville’a. Jego myśl przykuwają liczby hiperzespolone, liczby pozaskończone. Istotnie te liczby trzeba policzyć. Trzeba się także z nimi liczyć. Proroctwo tytułowej mądrości w pełnej krasie.
Pomijając podstawowe zbiory liczb tj. całkowite, wymierne, rzeczywiste, zespolone, skupimy się na sposobie zapisu tych liczb. A takowych jest całkiem niewiele. Być może dlatego, że zawsze najciężej jest zwyciężyć z prostotą. Niemniej jednak, powstało kilka innych — poza standardowym zapisem — sposobów na notację liczb. Każdy nowa metoda implikowała automatycznie nowy problem: skoro jest nowy kod to trzeba jeszcze zdefiniować podstawowe zabiegi na tym kodzie, tj. dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie itp. W przypadku liczb zespolonych widać dosyć jaskrawo kolejny problem, tkwiący w samej istocie tych liczb. Skoro wprowadzamy liczbę „i”, której przypisujemy wartość równą pierwiastek z -1, to jak np. mnożyć takie liczby? Norweg Kasper Wessel (1745 – 1818) jako pierwszy zaproponował przedstawienie liczby zespolonej geometrycznie. I w ten oto sposób płaszczyzna zespolona jest absolutną podstawą i posiada nieocenione zalety w różnorakich zadaniach z fizyki, w szczególności z elektrotechniki.
XIX wiek przyniósł kilka systemów liczbowych, które dziś są uważane za powszechne. Na przykład macierze. Zawdzięczamy je W. R. Hamiltonowi (1805 – 1865), który doszedł mniej więcej jednocześnie z J. J. Sylvestrem (1814 – 1897) i A. Cayleyem (1821 – 1895) do tych samych wniosków. Macierz można wyobrazić sobie jako tabliczkę w kształcie prostokąta. Definiując określone warunki możemy sprecyzować dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie itd. dla obiektów macierzowych. Wynikiem jest również macierz, która w przypadku szczególnym jest liczbą. W dzisiejszych czasach są nawet oprogramowania, które każdą daną wejściową traktują jak macierz — po raz kolejny uwzględniając szczególny przypadek macierzy o wymiarze 1x1 (np. pakiet Matlab). Innymi systemami liczbowymi, które narodziły się w XIX wieku są liczby pozaskończone oraz kwaterniony. Ale to już temat na kolejny raz. Teraz puenta.
Na przykładzie macierzy widać doskonale, jak coś praktycznego błyskawicznie toruje sobie drogę w wielu dziedzinach. A więc pierwszą recenzentką każdej innowacji jest przede wszystkim prostota. To od jej opinii zależy to, czy dana technika się przyjmie czy nie. Inne cechy nie są aż tak istotne. Są detalami, które prowadzą matematykę coraz dalej. Są jak gałęzie, które poszerzają koronę drzewa, jednakże nie czynią tego bez ciągłego oddalania się od pnia, od centrum. Istnieje jednak szansa, że ta gałąź totalnej abstrakcji znajduje się jedynie na ostrym zakręcie. Istnieje szansa, że za kilkaset lat nowe odnogi matematycznego drzewa będą czymś śmiesznie powszechnym.
zdjęcia: pixabay
Wiem, że to trochę czepialstwo, ale lepiej o i myśleć, że podniesiona do kwadratu daje -1. Pierwiastek z -1 wynosi i lub -i, czyli zawiera w sobie 2 wartości. Ma to dość duże znaczenie we wszelkich dowodach, bo zdarza się, że ktoś zapomina o tym drugim wyniku. ;)
Wszelkie czepialstwo mile widziane! Oczywiście masz rację, spojrzenie z drugiej strony jest o tyle bardziej uzasadnione, że te dwa pierwiastki widać jak na dłoni, dzięki :)