同 C.D.Lin 等四博士讨论堆叠法构造正交超立方设计
作者：贺深泽 (Email：[email protected] )
L=A⊗B+γC ⊗D. ------(2.1)
这里，“A =(aij) n1×m1 be a matrix with entries aij=±1,
B = (bij) n2×m2 be a D(n2,s2m2),
C=(cij)n1×m1 be a D(n1,s1m1)
and D = (dij)n2×m2 be a matrix with entries dij=±1.
Let γ be a real number.”
式 (2.1) 是两项和，A⊗B 和 γC⊗D 都是矩阵张量积。代数学有基本结果：
如果A,B (or C,D) 都是正交的，则 A⊗B (or γC⊗D) 都是正交的；
但若 A,B (or C,D) 中有一个不是正交的，张量积不一定是正交的。
即使式 (2.1) 的两项分别都是正交的，和不一定是正交的。
作者的这条引理有漏洞：
漏洞 1. 完全满足引理条件的结果可以是真的；也可以是假的.
给出一反例，余此类推，有无数的反例。
反例 A=[(1,3,3,1)T,(3,-1,-1,3)T], D=[(1,1,1,1)T,(1,-1,-1,1)T],
B=C=[(1.5,-0.5,0.5,-1.5)T,(-0.5,-1.5,1.5,0.5)T], γ=4.
这里 A,B,C,D 满足引理条件，代入 (2.1), 得到的不是 Litin Hypercube。
漏洞 2. 不满足引理条件的结果也可以是真的；
作者给出的例 1 (尊重作者的写法)，
C = [(1/2,-1/2)T,(-1/2,1/2)T]T, “let A be a matrix of all plus ones.”
作者没有用矩阵形式给出 A 是什么形状，揣测是：A=[(1,1)T,(1,1)T]T
D = (dij) be any 16×16 matrix of ±1. 得到了作者心目中的结果，是 LH。
这里的 C 不满足引理的条件 (i)，不是LH！
漏洞 3. 作者补充说：“(α) C has a foldover structure in the sense that C = (C0T,-C0T))T,
and A has the form A = (A0T,A0T)T; (β) A or D is a matrix of all plus ones. ”
给出一组满足这些条件的设置：
A=D=[(1,-1,1,-1)T,(-1,1-1,1)T]，B=C=[(1.5,0.5,-0.5,-1.5)T,(-1.5,0.5,1.5,-0.5)T]，γ=4.
代入计算程序，得到的是作者所要的结果！即是 LH。这里的 A,D 不是 plus ones，B,C 也不具有 foldover structure。
漏洞 4.可以构造出 A= a matrix of all plus ones, C 是作者所说的 foldover structure,例如 C0= [(1/2,-1/2)T,(-1/2,1/2)T]，
B=[(1.5,-0.5, 0.5,-1.5)T,(-0.5,-1.5,1.5,0.5)T] 是一个OLHD。代入(2.1),得到的不是 LH。这个矩阵如下
图 1. 符合作者命题条件但不是 LH 的例
目测，其中每列都至少有一个元素不是唯一的。
这样的引理 1 有效吗？
(未完待续)
1. 前 言
C.Devon Lin, Derek Bingham, Randy R. Sitter and Boxin Tang 联合署名在 The Annals of Statistics 上(2010 Vol.38, No.3,1460-1477) 上发表了一篇论文，题为《A new and flexible method for constructing designs for computer experiments》。 该文是 Lin 的博士论文（Lin (2008)）的缩略版。 该文描述了一些新颖的思想和方法，使能从现有较小运行数的正交拉丁超立方构造出较大的正交拉丁超立方（OLHD）。 检验其发布的 OLHD，符合作者的预期。然而，文章关于堆叠法的理论叙述存在一些值得讨论的问题，以致某些结果是不能接受的。 本文就堆叠法的某些问题与作者讨论，并在附录中给出自己的建议。2. 关于Lin 的定理 1
2.1 Lin 的理论的核心结构
Lin (2008，2010) 文的核心在结构式(2.1)，2.2 Lin 的引理 1
作者的这条引理有漏洞：
漏洞 1. 完全满足引理条件的结果可以是真的；也可以是假的.
给出一反例，余此类推，有无数的反例。
反例 A=[(1,3,3,1)T,(3,-1,-1,3)T], D=[(1,1,1,1)T,(1,-1,-1,1)T],
B=C=[(1.5,-0.5,0.5,-1.5)T,(-0.5,-1.5,1.5,0.5)T], γ=4.
这里 A,B,C,D 满足引理条件，代入 (2.1), 得到的不是 Litin Hypercube。
漏洞 2. 不满足引理条件的结果也可以是真的；
作者给出的例 1 (尊重作者的写法)，
C = [(1/2,-1/2)T,(-1/2,1/2)T]T, “let A be a matrix of all plus ones.”
作者没有用矩阵形式给出 A 是什么形状，揣测是：A=[(1,1)T,(1,1)T]T
D = (dij) be any 16×16 matrix of ±1. 得到了作者心目中的结果，是 LH。
这里的 C 不满足引理的条件 (i)，不是LH！
漏洞 3. 作者补充说：“(α) C has a foldover structure in the sense that C = (C0T,-C0T))T,
and A has the form A = (A0T,A0T)T; (β) A or D is a matrix of all plus ones. ”
给出一组满足这些条件的设置：
A=D=[(1,-1,1,-1)T,(-1,1-1,1)T]，B=C=[(1.5,0.5,-0.5,-1.5)T,(-1.5,0.5,1.5,-0.5)T]，γ=4.
代入计算程序，得到的是作者所要的结果！即是 LH。这里的 A,D 不是 plus ones，B,C 也不具有 foldover structure。
漏洞 4.可以构造出 A= a matrix of all plus ones, C 是作者所说的 foldover structure,例如 C0= [(1/2,-1/2)T,(-1/2,1/2)T]，
B=[(1.5,-0.5, 0.5,-1.5)T,(-0.5,-1.5,1.5,0.5)T] 是一个OLHD。代入(2.1),得到的不是 LH。这个矩阵如下
图 1. 符合作者命题条件但不是 LH 的例
目测，其中每列都至少有一个元素不是唯一的。
这样的引理 1 有效吗？
(未完待续)
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superheroes (-15)(1) 6 years ago
