Intrigantes mathématiques ; L’ÉPONGE DE MENGER
Pourquoi l'ÉPONGE DE MENGER me direz-vous ?
Parce que c'est un principe mathématique fabuleusement complexe et étrange ... Mais combien utile et dont les potentialités ne sont encore qu'à leurs balbutiements.
Qu’est-ce que l’ÉPONGE DE MENGER ?
En mathématique, c’est une FRACTALE.
Les fractales sont des figures mathématiques en géométrie euclidienne.
Elles sont encore peu connues et auraient un potentiel encore inexploité qui pourrait nous être utile dans bien des domaines de notre vie dans un avenir pas si lointain, on l'espère.
La géométrie euclidienne comprend 5 postulats de base. Les mathématiciens ont eu beaucoup de difficulté à énoncer le 5e postulat de façon précise. Leurs essais se sont soldés par la réalisation de figures étranges et d’une grande complexité.
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Ces figures, c’est ce qu’on appelle « les fractales » et on les obtient par la répétition infinie d’une opération simple.
L’ÉPONGE DE MENGER en est un exemple.
En fait, l’éponge de Menger est l’extension dans une troisième dimension de l’ensemble de Cantor et du tapis de Sierpinski.
Ensemble de Cantor : c’est un sous-ensemble de la droite réelle droite construit par le mathématicien allemand Georg Cantor. Un sous-ensemble fermé de l’intervalle unité (0,1), d’intérieur vide.
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Tapis de Sierpinski : c’est une forme un peu bizarre, inventée en 1916 par Waclaw Sierpinski (mathématicien polonais).
Elle est créée de la façon suivante : on amorce le tout avec un carré noir et on l’imagine constitué de 9 sous-carrés identiques et enlever maintenant celui du centre. On répète l’opération à l’infini.
En résumé, c'est une généralisation de "l'Ensemble de Cantor" en deux dimensions.
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Revenons à notre ÉPONGE DE MENGER …
En 1926, le mathématicien Karl Menger (autrichien) a voulu créer une version en trois dimensions du "Tapis de Sierpinski", le résultat obtenu est ce qu’on nomme aujourd’hui l’ÉPONGE DE MENGER.
C’est une sorte de cube qui se métamorphose en plusieurs petits cubes, avec une surface infinie et un volume nul. À cause de sa grande complexité ce n’est qu’en 1970, grâce aux capacités de l’ordinateur, qu’on arrivera à mieux cerner ces fractales.
On obtient l'ÉPONGE DE MENGER en partant d’un cube composé de 27 sous-cubes identiques, auquel on retire celui du centre, ainsi que les six sous-cubes centraux de chaque face du cube originel. La même action est ensuite effectuée pour le 20 m sous-cubes restants … Ainsi de suite, théoriquement, à l’infini…
Dans une école primaire de Toulouse, l'exemple d'un projet mathématique concret; la construction d'une ÉPONGE DE MENGER.
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L’ÉPONGE DE MENGER est une représentation mathématique fascinante et paradoxale à la fois, car en faisant l’extraction des cubes de plus en plus minuscules à l’infini, l’éponge devient pratiquement invisible, mais sa surface, quant à elle, augmente également infiniment …
Le paradoxe ; surface infiniment grande… Mais invisible !
Jeaninne Moseley (Pittsburgh), en a fait un défi personnel; elle a construit une ÉPONGE DE MENGER avec 66 048 «cartes de visite » pendant 10 ans. Deux cent personnes lui sont venues en aide pour ce projet ambitieux.
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Mais concrètement… À quoi ça peut servir l’ÉPONGE DE MENGER?
C’est dans le domaine des communications qu’on trouve son utilité à l’éponge de Menger. On retrouve des fractales dans nos antennes de communication.
« Dans les faits, plus une antenne aura une surface de contact élevée avec l’air, plus elle captera d’ondes. »
En utilisant le principe de l’éponge de Menger, le volume de l’antenne est réduit, tout en augmentant sa surface de contact. L’efficacité s’Avère ainsi accrue.
En lien avec cette découverte extraordinaire, il est dorénavant possible de graver des figures extrêmement petites, permettant ainsi de réduire considérablement les ressources nécessaires. Dans cette optique, les fractales stimulent actuellement les recherches dans les secteurs d’activité de la microtechnologie, particulièrement dans le domaine des communications.
Cette avancée mathématique qu'est la découverte des fractales, n’a pas livré encore tous ses secrets et suggère un riche avenir en potentialités d’applications diverses…
Pas spécialiste des mathématiques … Mais curieuse et toujours enthousiaste de partager mes découvertes avec vous, chers amis Steemiens … Aussi curieux que moi :)
Tourlou !
Sources (consultées le 07-08-18):
https://pdesrochers.wordpress.com/mathematiques/algebre-lineaire-et-geometrie-vectorielle/les-fractales-une-vieille-decouverte-anodine-qui-savere-importante/
https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89ponge_de_Menger
http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Suite/FracMeng.htm
http://www.ecolestjosephnotredamebayeux.fr/pages/en-primaire/eponge-de-menger.html
https://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemble_de_Cantor
Bellos,A., Alex aux pays des chiffres,ed.Robert Lafont, Paris. 2011
Très intéressant et instructif à la fois ! Upvoté à 100% !
Merci !!!
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Sincèrement merci !!!
Félicitations ! Votre post a été sélectionné de part sa qualité et upvoté par le trail de curation de @aidefr !
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Bonne continuation !
Merci !!!
salut va falloir que je relise lol mais c'est très intéressant merci et bonne journée
Merci du commentaire :)
Tu veux nous gâcher nos vacances ? Lol. Très bon article. Moi aussi je vais devoir le relire car je ne suis pas sûr d'avoir tout capté !
Ha Ha !
Merci à toi :)
Très bon article @ancolie, Les fractales sont à la mode sur Steemit et tu as piqué la curiosité de plusieurs et la mienne. Félicitations pour ta mention bien méritée.
Merci @peeknpoke :)