Euclides y el nacimiento científico de las matemáticas.

La matemática que actualmente conocemos estuvo precedida por un periodo práctico-empírico, y alcanzó su madurez teórica de generalización y axiomatización con Euclides, quien la lleva al contexto científico hacia el año 300 antes Cristo, con el nacimiento de la geometría euclidiana.

En la estructura de la geometría de Euclides, se presentan un conjunto de definiciones, de postulados y de proposiciones.

En las definiciones, usaba dos tipos de conceptos, definiciones implícitas y definiciones explícitas. A las definiciones implícitas, no las definía. Y las explícitas (las cuáles él consideraba propiamente definiciones) las definió como: punto, recta, plano.

Luego de las definiciones, venían los postulados (verdades evidentes por sí mismas). Euclides desarrolló cinco postulados en su geometría.

Los postulados de Los Elementos son:
Dos puntos cualesquiera determinan un segmento de recta.
Un segmento de recta se puede extender indefinidamente en una línea recta.
Se puede trazar una circunferencia dados un centro y un radio cualquiera.
Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
Postulado de las paralelas.

Es importante destacar que en el siglo XIX, el matemático ruso Lobacheski, encontró que era imposible de demostrar el quinto postulado, el relativo a las paralelas. Lobacheski probó que este quinto postulado era independiente respecto a los otros axiomas. Por eso pudo ser sustituido por su negación contradictoria, lo cual condujo a la construcción de las geometrías no-euclidianas.

Finalmente, al combinarse los postulados se deducen los teoremas (a los que Euclides denominó proposiciones).

Actualmente existe una axiomática semejante al sistema de los postulados euclidianos, pero asumiendo una nueva denominación. Lo que Euclides llamó definiciones, se les llama conceptos. Se habla entonces de conceptos primitivos o no definidos, que son las definiciones implícitas de Euclides. Los conceptos definidos corresponden a las definiciones explícitas, los postulados se denominan axiomas y las proposiciones teoremas. La estructura axiomática es la misma, sólo faltan las reglas de deducción, las cuales son las mismas leyes de la lógica formal, llamadas hoy reglas de operación.

Se procede por lo general, con la lógica formal. Los teoremas son a demostrar, desde los más inmediatos, que a su vez dan lugar a nuevos teoremas, hasta los últimos que se pueden deducir en dicha escala (cfr. P.55).

En consecuencia, desde las posiciones intuitivas clásicas (Teorema de Pitágoras) se ha llegado a la axiomatización elemental (Elementos de Euclides, I, 47) y contemporáneamente a la formalización moderna (Hilbert, 1900).

Y esta formalización de las matemáticas pasa a través de la lógica. Los elementos de la expresión lógica S es P son sustituidos por F(x), o x=y . Al silogismo lo sustituye la regla de derivación.

De manera que la teoría matemática se nos transforma en un conjunto de símbolos (un lenguaje) que sirve para conocer una determinada región de objetos del mundo real.

Fuente:
Núñez Tenorio, J. R. Introducción a la Ciencia. Panapo Caracas. 2006.
https://es.wikipedia.org/wiki/Postulados_de_Euclides
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