TEOREMA DE INMERSIÓN

Sea B(Rⁿ)= {T:Rⁿ→Rⁿ aplicación lineal sobre R}. Una aplicación lineal T se dice acotada por abajo, si existe una constante m > 0 tal que ||T(x)|| ≥ m ||x|| , ∀ x ∈Rⁿ . Si T es acotada por abajo es inyectiva, en efecto si T(x) = 0 entonces m ||x|| ≤ 0 y por lo tanto ||x||= 0, es decir x = 0. Como 𝑑im(Rⁿ) == 𝑑𝑖𝑚(Ker(T)) + 𝑑imT(Rⁿ)=𝑑imT(Rⁿ)=n , se deduce realmente que T es una aplicación lineal invertible. Veamos que si T es invertible, entonces T es acotada por abajo. En efecto ||x||=||T^{- 1}T(x)|| ≤||T^{- 1}||||T(x)|| , luego ||T(x)|| ≥ (1/||T^{- 1}||)||x|| , lo que prueba lo afirmado.

Sea Ω un abierto del espacio euclideo Rⁿ y f: Ω → Rⁿ una función de clase C¹(Ω ), es decir f: Ω → Rⁿ tiene derivadas parciales de orden uno continuas. Si x₀∈ Ω y la diferencial Df(x₀) es regular (es decir invertible), entonces es acotada por abajo, luego existe m > 0 tal que ||Df(x₀)(x)|| ≥ m ||x|| , ∀ x ∈Rⁿ. Dado 0 < ε < 1 y con 1/2 ε||Df(x₀)⁻¹||⁻¹ < m, existe un r > 0 tal que B ^—( x₀,r)={x ∈ Rⁿ: ||x−x₀|| ≤ r} ⊂ Ω y si x ∈ B ^—( x₀,r), entonces ||Df(x) −Df(x₀)|| ≤1/2 ε||Df(x₀)⁻¹||⁻¹ . Supongamos que a, b ∈ B ^—( x₀,r) y definamos la función g:Ω →Rⁿ por g(x) = f(x) − Df(x₀)(x). Es claro que Dg(x) = Df(x) − Df(x₀). Aplicando el teorema del valor medio a la función g en el segmento [ a,b] ⊂ B ^—( x₀,r) obtenemos que ||g(b) −g(a)|| ≤ ||Dg(c)(b−a )||) . Es decir

||f(b) − f(a) − Df(x₀)(b − a)|| ≤ ||(Df(c) −Df(x₀) )(b − a)|| ≤

||Df(x) −Df(x₀)||||b−a|| ≤1/2 ε||Df(x₀)⁻¹||⁻¹ ||b − a||

Se deduce que

m||b − a|| ≤||Df(x₀)(b − a)|| ≤||f(b) − f(a)|| +1/2 ε||Df(x₀)⁻¹||⁻¹ ||b− a||

Despejando

(m−1/2 ε||Df(x₀)⁻¹||⁻¹ )||b − a|| ≤|| f(b) − f(a) ||

De lo que se deduce que

f: B ^—( x₀,r), → Rⁿ es inyectiva.

De lo anterior, si llamamos α =m−1/2 ε||Df(x₀)⁻¹||⁻¹ , nos queda la importante propiedad:
α ||b −a|| ≤ ||f(b) − f(a)|| , ∀ a, b ∈ B ^—( x₀,r)

Hemos demostrado realmente que si f: Ω → Rⁿ una función de clase C¹(Ω ), y la diferencial Df(x₀) es invertible , entonces f es localmente una inyección. Queremos es probar que localmente la función f es un homeomorfismo. Esto lo haremos en los siguientes pasos:

(1) Si x₀ ∈(Ω y la diferencial Df(x₀) es invertible , por la primera parte, sabemos que si ||x − x₀|| ≤ r ,entonces ||Df(x₀) − Df(x)|| ≤1/2 ε||Df(x₀)⁻¹||⁻¹ , luego


||I −Df(x₀)⁻¹ Df(x)|| = ||Df(x₀)⁻¹(Df(x₀)− Df(x))|| ≤||Df(x₀)⁻¹|| ||Df(x₀)− Df(x))|| ≤

||Df(x₀)⁻¹|| 1/2 ε||Df(x₀)⁻¹||⁻¹=1/2 ε ≤1/2

Es decir si ||x − x₀|| ≤ r, entonces ||I −Df(x₀)⁻¹ Df(x)||≤1/2.


(2) Sea s ≤(1/2)r||T||⁻¹ (T=Df(x₀)⁻¹). Si ||y−f(x₀)||≤s definimos la función F_y:B ^—( x₀,r) → Rⁿ con F_y(x)= f(x) −y. Es claro que DF_y(x) = Df(x), ∀x ∈B ^—( x₀,r) . Por otro lado ||TF_y(x₀) ||= ||T(f(x₀) −y)||≤ s ||T|| ≤(1/2)r||T||⁻¹ ||T||=(1/2)r . Es decir ||TF_y(x₀) ||≤(1/2)r. Finalmente ||I −T DF_y(x)|| = ||I −T Df(x)|| ≤1/2, ∀ ||x − x₀|| ≤ r.



(3) Sea ||y−f(x₀)||≤s. Definamos la función G_y:B ^—( x₀,r) → Rⁿ con G_y(x) = x − TF_y(x) , veamos que G_y es una contracción. En efecto, para x₁, x₂ ∈ B ^—( x₀,r), por el teorema del valor medio, para un c perteneciente al segmento [ x₁, x₂]:

|| G_y(x₂)− G_y(x₁)||≤D G_y(c)(x₂−x₁) =||x₂−x₁− TDf(c)(x₂−x₁)||=

||(I−TDf(c))(x₂−x₁)||≤||I−TDf(c)||||x₂−x₁|| ≤1/2||x₂−x₁||

Esto prueba lo afirmado. Vamos a demostrar que G_y(B ^—( x₀,r) ) ⊂B ^—( x₀,r). En efecto, consideremos x ∈B ^—( x₀,r) y determinemos || G_y(x) − x₀|| ≤|| G_y(x) −G_y( x₀)||+|| x₀−G_y( x₀)||≤1/2||x − x₀||+||TDf(x₀)|| ≤(1/2)r+(1/2)r=r.



Ahora consideremos φ:B^—( f(x₀),s) →Rⁿ la función constante φ(y) =x₀. Escribimos φ₀ = φ . Se define de manera recurrente φ_n+1: B^—( f(x₀),s) →Rⁿ mediante φ_n+1(y) =G_y(φ_n(y)), Es fácil demostrar por inducción que φ_n(y)∈ B^—( x₀,r) y por lo tanto φ_n+1(B^—( f(x₀),s) ) ⊂B^—( x₀,r) , ∀ n ≥ 0,

Vamos a demostrar que || φ_n+1(y) − φ_n(y)|| ≤ 1/2ⁿ||φ₁(y) − φ₀(y)|| ≤1/2ⁿ⁺¹, ∀ n≥ 2. Observemos que ||φ₁(y) − φ₀(y)|| =||G_y(φ₀(y) )− φ₀(y)|| = ||G_y(x₀ )− x₀||=||TF_y(x₀)||≤1/2. Supongamos que para n ≥ 2, el resultado es cierto, luego

|| φ_n+1(y) − φ_n(y)|| =||G_y(φ_n(y) )− G_y( φ_n−1(y))|| ≤

1/2||φ_n(y) )− φ_n−1(y)||≤(1/2) (1/2ⁿ⁻¹)|| ||φ₁(y) − φ₀(y)|| =

1/2ⁿ||φ₁(y) − φ₀(y)|| ≤1/2ⁿ⁺¹ (∀ y ∈ B^—( f(x₀),s) )).


Hemos visto que las funciones φ_n+1:B^—( f(x₀),s) →Rⁿ son acotadas y realmente continuas sobre un compacto. Veamos que en el espacio de Banach de las funciones continuas C(B^—( f(x₀),s),B^—( x₀,r)) con la norma uniforme, la sucesión φ_n+1 es de Cauchy. En efecto


||φ_n+k(y) − φ_n(y) ||≤Σ_j=1^k||φ_n+j(y) − φ_n+j−1(y) || ≤

Σ_j=1^k1/2^{n+j −1}≤1/2ⁿ⁻¹ (∀ y ∈B^—( f(x₀),s))


Por lo tanto sup[ ||φ_n+k(y) − φ_n(y) ||: ∀ y ∈B^—( f(x₀),s)) ] → 0, n →+ ∞.

Esto dice que existe g: B^—( f(x₀),s) → B^—( x₀,r) continua, tal que φ_n → g uniformemente. Por otro lado

φ_n+1(y)=G_y(φ_n(y) )=φ_n(y)−TF_y(φ_n(y))


Se deduce pasando al límite que g(y) = g(y) −TF_y(g(y)), luego TF_y(g(y))=0 y como T es invertible, F_y(g(y))=f(g(y)) − y = 0. Es decir f(g(y)) =y , lo que dice que f es sobreyectiva y por lo tanto f:B^—( x₀),r) → B^—( f(x₀),s)) es un homeomorfismo con f⁻¹=g.


NOTA. Estas notas son la resolución del proyecto 41.β de la sección "Teoremas de las transformaciones y funciones implícitas ", del capítulo de Diferenciación del libro "Introducción al Análisis Matemático de Robert Bartle. Limusa. 1992.