RANGO DE UN MÓDULO

Sea A un dominio de integridad y M un módulo sobre A . Si k es el cuerpo cociente del dominio , entonces M_k=k ⊗_k M es un espacio vectorial sobre k y a su dimensión dim( M_k)= r(M) se le llama el rango del módulo M.


Veamos algunos propiedades importantes del rango :



(1) Supongamos que r(M) < + ∞ y N es un submódulo de M, entonces r(M) < + ∞ y r(M/N) < + ∞ y vale r(M)=r(N)+r(M/N).


Sabemos que es exacta:

luego es exacta





de lo que se deduce que






que prueba lo pedido.


(2) r(M)=0, si y sólo si, T(M)=0 (T(M) la torsión del módulo M)



Si dim( k ⊗_k M)=0, entonces k ⊗_k M=0 y por lo tanto M_A^*=0 (A ^* son los elementos no nulos del dominio), de lo que se deduce que T(M)=M y recíprocamente.



(3) Si es M es un módulo de longitud finita sobre un dominio A, que supondremos tiene más de dos elementos, entonces T(M)=M .



Supongamos, primeramente que M, es una módulos simple sobre A. Sabemos que f_r:M →M dada por f_r(m)=rm es un morfismo de módulos, luego f_r(M)=M, o f_r(M)=0. Si existe algún r ≠ 0 tal que f_r(M)=M, se deduce que T(M)=M. De lo contrario f_r(M)=0 para todo r ≠ 0. Vamos a demostrar que k ⊗_k M =0, en efecto r/s⊗m= 1/s⊗rm=0 (r ≠1), el resto de los casos se sigue de la misma manera. Se deduce que r(M)=0 y por lo tanto T(M)=0 . Ahora, suponemos que el resultado vale para todo k=1,2,...,n−1. Sea una serie de descomposición para N :

Como

es una serie de descomposición para

ya que



es un módulo simple, y como es simple M_n−1; por hipótesis inductiva y por lo probado anteriormente, deducimos que T(M/M_n−1)=M/M_n−1 y T(M_n−1)=M_n−1, luego r( M/M_n−1)=0 y r(M_n−1) =0 y por lo tanto r(M)=0. lo que prueba lo afirmado.