LEMA DE NORMALIZACIÓN DE NOETHER Y APLICACIONES

Sea A un anillo conmutativo con identidad, diremos que B es una A- álgebra de tipo finito, si y sólo si, B =A[x₁,...,x_n ] para algunos x_i ∈ B. Una familia finita x₁,...,x_n en B, se dice algebraicamente libre, si A[x₁,...,x_n ] ≅_φ A[X₁,...,X_n ] , donde el isomorfismo φ(F(X₁,...,X_n)) =F(x₁,...,x_n) para todo polinomio F(X₁,...,X_n) ∈ A[X₁,...,X_n ] . Vale el siguiente fundamental resultado geométrico:

Teorema 1 (Lema de Normalización de Noether). Sea B = k[y₁,...,y_m ] una k -álgebra de tipo finito donde k es un cuerpo. Entonces existen x₁,...,x_n elementos en B, algebraicamente libres, tales que B es entera sobre A = k[x₁,...,x_n ] (n ≤ m).

Demostración. Hagamos inducción sobre m . Si m = 0 , el resultado se sigue. De lo contrario m > 0 . Sea φ(F(X₁,...,X_m)) =F(y₁,...,y_m) . Llamemos α = ker φ. Si α = 0, se deduce que k[y₁,...,y_m ] ≅_φ k[X₁,...,X_m ]y el resultado se sigue tomando x_i=y_i para todo i.

Supongamos ahora que α ≠ 0 . Existe un polinomio no nulo F(X₁,...,X_m) tal que F(y₁,...,y_m)=0 .

Escribimos F(X₁,...,X_m)=a₁M₁(X₁,...,X_m)+...+a_nM_n(X₁,...,X_m), con a_i ≠ 0 y M_i(X₁,...,X_m)=a_iX₁^s_i(1)⋯ X_m^s_i(m) monomios distintos de las m variables. Supondremos, sin perder generalidad, que X₁ aparece en alguno de los monomios. Se define el peso del monomio M_i(X₁,...,X_m) por d₁s_i(1)+ ⋯ + d_ms_i(m) para una m-upla prefijada (d₁, ⋯,d_m) con d₁ = 1 . Usando el hecho de que para cada i ≠ j , existe un s_i(t) −s_j(t) ≠0, podemos hallar una m-upla (d₁, ⋯,d_m) (d₁=1 )tomando los d_i suficientemente grandes, tales que d₁( s_i(1) −s_j(1)) +d₂( s_i(2) −s_j(2))+⋯ + d₂( s_i(m) −s_j(m))≠ 0, para cualesquiera i ≠j.

Haciendo cambio de variable Y₁ = X₁, Y₂ = X₂ − X₁^d₂,...,Y_m = X_m − X₁^d_m, obtenemos que F(Y₁, Y₂ + Y₁^d₂,⋯, Y_m +Y₁^d_m) =a₁Y₁^{d₁s₁(1)+ ⋯ + d_ms₁(m)}+ ⋯ +a_nY₁^{d₁s_m(1)+ ⋯ + d_ms_m(m)}+ ⋯ + es un polinomio no nulo del anillo de polinomios k[Y₂,...,Y_m ][Y₁] . Si consideremos el anillo k [z₂, ⋯, z_m] donde z _i= y_i − y₁^d_i, veamos que z₁ = y₁ es entero sobre k [z₂, ⋯, z_m] . En efecto, el polinomio F(Y₁, Y₂ + Y₁^d₂,⋯, Y_m +Y₁^d_m) ≠ 0 y mónico, entonces F(z₁, z₂ +z₁^d₂, ⋯, z_n +z₁^d_n) = F(y₁, ⋯, y_m) = 0 . Por lo tanto y₁, ⋯, y_m son enteros sobre k [z₂, ⋯, z_m] . Usando hipótesis inductiva, existen x ₁, ⋯, x_n (n ≤ m − 1) algebraicamente libres tal que k [y₂, ⋯, y_m] es entera sobre k [z₂, ⋯, z_m] y como k [y₁, y₂, ⋯, y_m] es entera sobre k [y₂, ⋯, y_m] , se resuelve el problema.∎

Corolario 1. Sea A[X₁,...,X_n ] una k-álgebra de polinomios en n variables y P un ideal en A, entonces A/P es un cuerpo, si y sólo si, A/P es un k-módulo finitamente generado.


Demostración. Para ver el directo, suponga que A/P= k[X₁+P,...,X_n+P ] es un cuerpo, luego por ser una k -álgebra de tipo finito, existen x₁, ⋯, x_n en A/P, algebraicamente libres, tales que A/P, es entera sobre k[x₁,...,x_n ] (m ≤ n) . Cómo el único ideal primo propio de A/P es el ideal 0 , se deduce que el único ideal primo de k[x₁,...,x_n ] es el 0, y por lo tanto n = 0, es decir es entera sobre k, luego es un k-módulo finitamente generado.


Recíprocamente, Supongamos que A/P es un k -módulo finitamente generado, luego en un k-espacio vectorial finitamente generado y por lo tanto A/P es una extensión entera sobre k. Al ser k un cuerpo, por el teorema de Cohen-Seidenberg, deducimos que A/P es un cuerpo, lo que prueba lo pedido.∎


Corolario 2. (Teorema de los ceros de Hilbert) Sea k un cuerpo, A=k[X₁,...,X_n ] una k-álgebra de polinomios en n variables , α un ideal propio de A y x ∈ A. Supongamos que para cada extensión finita de de cuerpo L de k y cada k-homomorfismo de álgebras φ:A → L con α ⊆ kerφ obtenemos que φ(x) = 0, entonces existe un n > 0 tal que xⁿ ∈ α.

Demostración. Si x = 0 no hay nada que demostrar. Supongamos que x ≠ 0 . Sea la k − álgebra B =k[X₁,...,X_n ] [X_n+1 ] y β = <α >_B + <1 −xXn+1> _B . Entonces β ⊆ m, donde m es un ideal máximal de B. Por el corolarios 1, deducimos que B/m es un k-módulo finitamente generado y por lo tanto una extensión finita de k . Sea φ:A →B/m el morfismo canónico φ(a) = a + m. Es claro que φ es un morfismo de k-álgebras, α ⊆ kerφ y φ(x) = 0 . Note que φ(1) = φ(1 − xXn+1) + φ(x)φ(Xn+1) = 0 lo es contradictorio. Esto dice que β = B y por lo tanto 1 = ∑_i=1^rf_i(X₁,...,X_n)g_i(X₁,...,X_n,X_n+1)+ (1 − xX_n)g(X₁,...,X_n,X_n+1) con f_i ∈ α y g_i, g ∈ B. Sustituyendo X_n+1=1/x en la expresión anterior, deducimos que 1 = ∑_i=1^rf_i(X₁,...,X_n)g_i(X₁,...,X_n,1/x), luego xⁿ∈ α par algún n.∎

Corolario 3. Sea k un cuerpo algebraicamente cerrado y A=k[X₁,...,X_n ] una k-álgebra de polinomios en n variables. Entonces, todo ideal máximal m de A, es de la forma (X₁-X₁ −a₁, ⋯, X_n −a_n) con a_i∈ k.

Demostración. Si m es un ideal máximal de k[X₁,...,X_n ] , como k[X₁,...,X_n ]/m es un cuerpo, deducimos del corolario 1, que k[X₁,...,X_n ]/m es entera sobre k, se deduce que k[X₁,...,X_n ]/m ≅^φk y por lo tanto φ(X_i + m) =a_i(a_i∈ k ) . Es decir X_i − a_i ∈ m, ∀ i y como (X₁-X₁ −a₁, ⋯, X_n −a_n) es máximal, se deduce que (X₁-X₁ −a₁, ⋯, X_n −a_n) =m, se obtiene lo afirmado.∎

NOTA
Es importante referir que lo desarrollado en estas notas son soluciones a los ejercicios sobre el lema de normalización de Noether, del capítulo 5 del libro de M.F. Atiyay, y I. G Macdonal: Introducción al Algebra Conmutativa. Editorial Reverte. 1978.