k-ÁLGEBRAS FINITO DIMENSIONALES

Sea A una k-álgebra conmutativa con unidad, tal que como espacio vectorial sobre k, A es de dimensión finita. Diremos que A es una k-álgebra finito dimensional.

^{CARACTERIZACIÓN DEL ESPECTRO DE LA k-ÁLGEBRA A}

Se quiere caracterizar el espectro primo de A. Sea P∈Spect(A), luego A/P es un dominio de integridad. Como A/P tiene una estructura de espacio vectorial finito dimensional sobre k, se deduce que A/P es un cuerpo y por lo tanto P es un ideal máximal. Es decir Spect(A)=Max(A) (ideales máximales de A).

Recordemos que el radical de A , es el ideal √A=∩{P: P∈Spect(A) }=∩{P: P∈Max(A) }=J(A) (radical de Jacoboson). Particularmente, si (A,m) es un anillo local, entonces √A=m.

Como Spect(A)=Max(A), si √A=0, entonces A es un anillo regular Von Newman, es decir dado a∈A, existe b∈A tal que a=a²b.

^{CARACTERIZACIÓN DE LOS IDEALES DE LA k-ÁLGEBRA A CONTENIDOS EN SU RADICAL}

Supongamos que I es un ideal de A, consideremos la filtración:

...⊆Iⁿ⁺¹⊆Iⁿ⊆...⊆I²⊆I.

Se dice que el ideal es nilpotente, si existe n tal que Iⁿ=0 .

Vale el siguiente resultado.

Teorema 1. Sea A una k-álgebra finito dimensional. Un ideal I es casinilpotente, si y sólo si I⊆√A.
Demostración. Supongamos que I es casinilpotente y Iⁿ=0 con n≥2. Si a∈I, entonces aⁿ=0∈P para todo P∈Spect(A), luego a∈P para todo P∈Spect(A), es decir a∈√A.

Recíprocamente, supongamos que I⊆√A. Si Iⁿ≠0 para todo n≥1. Veamos que existe un n, tal que Iⁿ=Iⁿ⁺¹. De lo contrario, existen a_k∈I^k−I^k+1, de lo que se deduce que los a_k forman una familia linealmente independiente infinita, lo que es contradictorio. Como Iⁿ⁺¹=Iⁿ para algún n≥1, entonces I^k=Iⁿ para todo k≥n, en especial Iⁿ²=Iⁿ=(Iⁿ)². Si definimos I₀ =Iⁿ, luego I₀²= I₀≠0 y contenido en el radical de A. Sea J el ideal de menor dimensión vectorial, tal que JI₀ ≠0 y J contenido en el radical de A. Es claro que existe un b∈B, tal que bI₀≠0. Además bI₀ ⊆J y (bI₀)I₀=bI₀²=bI₀≠0 por lo tanto bI₀=J. Tenemos que ab=b con a≠0 y a∈√A. Es decir (1−a)b=0. Como existe k≥2 tal que a^k=0 y a^k−1≠0, deducimos que 1=1−a^k−1=(1−a)(1+a²+...+a^k−1) y como 1+a²+...+a^k−1 ≠0 (de lo contrario 1∈√A, lo que es contradictorio), deducimos que 1−a es invertible y por lo tanto b=0, lo que es nuevamente contradictorio. Se termina la prueba.∎

Corolario 1. A es anillo local, si y sólo si, existe un ideal máximal α de A nilpotente.

Demostración. Si (A, α ) es local, luego √A=J(A)=α y se aplica el teorema anterior. Si existe α un ideal máximal nilpotente, existe n natural con αⁿ=0, luego se deduce que α⊆P, para todo P ideal primo de A, luego α=P. Se prueba el recíproco.∎

^{CARACTERIZACIÓN DE LOS IDEALES COMAXIMALES}

Sean I, J ideales de A. Si I+J=A, se dice que los ideales son comaximales.

Teorema 2 Sea I, J ideales comaximales de A, entonces IJ=I ∩J.

Demostración. Es claro que IJ ⊆I ∩J. Por otro lado 1=a+b con a∈I, b∈J, por lo tanto si c∈ I ∩J, entonces c=ac+cb∈IJ. Esto dice que I ∩J⊆IJ y se termina la prueba.∎

Teorema 3. Sean I, I₁, I₂,...,I_r ideales de A, tales que I es comaximal con cada I _i y I₁. I₂....I_r≠0, entonces I es comaximal con el ideal producto I₁ I₂...I_r.

Demostración.

Si r=1, el resultado se sigue, Suponemos que vale para r−1, luego I es comaximal con J= I₂...I_r. Como A.A=(I+ I₁ )(I+J)=I+I₁ I₂...I_r, prueba lo pedido.∎

Corolario 2. Si I y J son ideales comaximales tales que Iⁿ y J^m son ideales no nulos , entonces Iⁿ y J^m son comaximales.

Demostración. Es una aplicación directa del teorema anterior.∎

Corolario 3. Si I₁, I₂,...,I_r son ideales de A y comaximales de a pares (es decir I_i+ I_j =A, para todo i≠j)), entonces I₁ I₂...I_r= I₁ ∩ I₂∩...∩I_r.


Demostración. Si n=2, el resultado se sigue del teorema 2. Si vale para r−1, entonces I₂ I₂...I_r= I₂ ∩ I₃∩...∩I_r. Si I₃...I_r= I₂ ∩ I₃∩...∩I_r=0, el resultado se sigue. De lo contrario I₁ es comaximal con I₂. I₃...I_r por el teorema 3. Se deduce que I₁.(I₂. I₃...I_r) =I₁∩( I₂ ∩ I₃∩...∩I_r ), lo que prueba el resultado.∎


Sean I, J ideales de A. Si I+J=A y J∩I=0, diremos que son ideales sumando directos. Se tiene el siguiente resultado:

Teorema 4 . I, J ideales de A son sumandos directos, si y sólo si, I es un ideal principal generado por un elemento idempotente.


Demostración. Para ver el directo, considere 1=x+y con x∈I, y∈J, luego para todo a∈I, tenemos que a=ax+ay, por lo tanto a=ax, 0=ay. Es decir I=Ax y como x=x², se deduce que el elemento es idempotente. Recíprocamente, si I=Ax con x=x², luego 1=x+(1−x), de lo que se deduce que A=I+J con J=A(1−x) y si a∈I∩J, luego a=bx=c(1−x) y por lo tanto bx²=c(1−x)x=bx=a=0, lo que prueba la suma directa.∎


Es importante notar que I es un ideal principal, más no necesariamente un subespacio de dimensión uno.

Teorema 5 . Un ideal I de A minimal es sumando directo, si y sólo si, I² ≠0.


Demostración. El directo es una aplicación inmediata del teorema anterior. Supongamos que I² ≠0, luego I²=I. Existe un y∈I tal que yI≠0 y por lo tanto yI=I, luego y=xy (x ≠0, x∈). Es decir y(1−x)=0. Esto dice que (1−x) ∈Ann(y) (anulador de y ) Como 1=x+(1−x), se deduce de lo anterior que I y J=Annu(y) son comaximales, pero I∩Ann(y) =0, ya que de lo contrario I∩Ann(y)=I y por lo tanto yI=0, lo que es contradictorio. Se termina la prueba.∎

Pasemos a estudiar una importante consecuencia del teorema anterior:

Teorema 6 . Sean I₁, I₂,...,I_r son ideales de A y comaximales de a pares tales que I₁.I₂. ...I_r=0. Si para cada i, A_i= I₁.I₂...I_i^{^}...I_r≠0 (I_i^{^} significa que hay que extraer este factor del producto total), entonces A=A₁⊕...⊕A_n y A=I_i+A_i, para todo i.


Demostración. Es claro que el resultado vale para r=2. Supongamos que es cierto para r−1 con r≥3. Consideremos los ideales I₁. I₂,I₃,...,I_r. Es claro que son comaximales de a pares y por la hipótesis inductiva A=B⊕A₃⊕...⊕A_r donde B=I₃.I₄...I_r≠0. Por el teorema 4, tenemos que B=Ae donde e²=e. Por lo tanto B tiene una estructura de k-álgebra donde e es su elemento unitario. Si consideramos los ideales en B: A₁ =I₁B y A₂ =I₂B, es claro que son comaximales y como A₁ .A₂ =A₁ ∩ A₂=0, nosotros tenemos que A=A₁⊕...⊕A_n y puesto que I_i y A_i son comaximales con I_i∩ A_i=I_i. A_i=0, deducimos que A=I_i+ A_i para todo i, se termina la prueba.∎


Pra finalizar, note que si A es una k-álgebra finitamente generada, entonces el espectro está formado por un número finito de ideales máximales. De lo contrario. existiría un un conjunto contable infinito de ideales máximales distintos α_i (i=1,2,...) y por lo tanto α₁....α_n−α₁....α_n+1≠0 para todo n, lo que nos llevaría a probar la existencia de una familia linealmente independiente contable e infinita de elementos de A, lo que es contradictorio. Se deduce que √A=α₁∩...∩α_n=α₁....α_r ya que la familia del espectro es comaximal de a pares por ser ideales máximales. Sabemos que existe n, tal que (√A)^m=0. Es claro que los ideales I_i=α_i^m≠0 y comaximales de a pares. Si definimos A_i=I₁.I₂...I_i^{^}...α_r≠0, como α₁.α₂......α_r=(α₁∩...∩α_r)^m=0, tenemos queA=A₁⊕...⊕A_n y A=I_i+A_i, para todo i. De la última igualdad deducimos que A/I_i=A/α_i^m≅^φ_iA_i un anillo local con único ideal máximal α_i/α_i^m. Si definimos f:A →A/α₁^m×...×A/α_n^m por f(a₁⊕...⊕a_n)=(φ₁(a₁),...,φ_n(a_n)) , entonces f es un isomorfismo. Caso particuarmente interesantes, es si √A=0, es decir A es un anillo semisimple. En este caso m=1 y A/α_i≅^φ_iA_i.


FUENTES (1) David Winter :The Structure of Fields. Springer-Verlag. New York. 1973.
(2) M.F. Atiyay, y I. G Macdonal: Introducción al Algebra Conmutativa. Editorial Reverte. 1978.