ESTUDIO DE LA DIMENSIÓN DE KRULL

Sea R un anillo conmutativo con identidad, diremos que una sucesión de primos (P₀,...,P_n) es una cadena finita y ascendente de ideales primos, si P₀ ⊊P₁....⊊P_n y diremos que el número |(P₀,...,P_n)|=n es la longitud de la cadena. La dimensiñon de Krull del anillo R, es el número dim(R)=sup{|(P₀,...,P_n)|: (P₀,...,P_n) es una cadena finita y ascendente de ideales primos } .

Si P es un ideal primo del anillo R, se define su altura, como el número alt(P)=dim(R_P).

Se prueba que dim(R)=sup{alt(P): P ∈ Spect(R)}|.

Proposición 1. Sea R es un anillo conmutativo con identidad noetheriano y x ∈ R un elemento no invertible. Entonces alt(P)≤1, para todo primo minimal P sobre el ideal I=Rx. Si x no es un divisor de cero alt(P)=1 .

Demostración. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que A es un dominio local con P su único ideal máximal. Si el resultado no es cierto, existe un ideal primo Q, tal que 0 ⊊ 𝑄 ⊊P . Como x ∉ Q , existe 𝑦 ∈ 𝑄 (𝑦 ≠ 0 , y ≠x). Definamos los ideales I _k=((𝑦): 𝑥^k)= {𝑡 ∈ 𝑅: 𝑡 ∙ 𝑥^k ∈ (𝑦)=𝑅y}. Es claro que esta es una cadena ascendente de ideales y por lo tanto es estacionaria. Es decir existe 𝑛, tal que I _k=I _n ∀ 𝑘 ≥ 𝑛.

Sea 𝜑: ((𝑦): 𝑥^k) →( (𝑥^k): 𝑦) por 𝜑(𝑎) = 𝑡 con 𝑎 ∙ 𝑥^k = 𝑡 ∙ y. Usando que estamos en un dominio, es directo ver que 𝜑 es un isomorfismo de 𝑅 − 𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜𝑠. A partir del isomorfismo 𝜑, definamos 𝜑̃: ((𝑦): 𝑥^k)/(y) → ( (𝑥^k): 𝑦)/(𝑥^k) por 𝜑̃(𝑎 + (𝑦)) = 𝜑(𝑎) + ( 𝑥^k). Es directo ver que es un isomorfismo.

Como sop(R/(𝑥^k))=𝑉((𝑥^k)) = {𝑃} con 𝑃 máximal, deducimos que R/(𝑥^k)es un 𝑅 −módulo de longitud finita.



Sea el morfismo de multiplicación 𝜑_y:R/(𝑥^k) → R/(𝑥^k), dado por 𝜑_y(r+(𝑥^k))= 𝑟 ∙ y+(𝑥^k). Si 𝜑_y(r+(𝑥^k))=0, luego 𝑟 ∙ 𝑦 ∈(𝑥^k), esto dice que 𝑟 ∈ ((𝑥^k): 𝑦). Realmente Ker𝜑_y=((𝑥^k): 𝑦)/(𝑥^k) es de longitud finita. Tenemos que ( R/(𝑥^k))/(((𝑥^k): 𝑦)/(𝑥^k))≅𝜑_y(R/(𝑥^k)), luego

long (𝜑_y(R/(𝑥^k)))+long(((𝑥^k): 𝑦)/(𝑥^k))=long(R/(𝑥^k) ).

Por otra parte

0 →𝜑_y(R/(𝑥^k)) → R/(𝑥^k) → ( R/(𝑥^k))/(𝜑_y(R/(𝑥^k)) ) →0

es exacta, luego

long( R/(𝑥^k) ))=long(𝜑_y(R/(𝑥^k)) )+long(( R/(𝑥^k))/(𝜑_y(R/(𝑥^k)) ) )

deducimos

long(((𝑥^k): 𝑦)/(𝑥^k))=long(( R/(𝑥^k))/(𝜑_y(R/(𝑥^k)) ) )

Como ( R/(𝑥^k))/(𝜑_y(R/(𝑥^k)) )≅ R/(x^k,y) concluimos que

long ( R/(𝑥^k))/(𝜑_y(R/(𝑥^k)) =long( (𝑥^k): 𝑦)/(𝑥^k) =long R/(x^k,y), ∀ 𝑘 ≥ 𝑛.

Finalmente R/(x^k,y)≅(R/(x^k+1,y))/((x^k,y)/(x^k+1,y)) y por lo tanto


long(R/(x^k+1,y))=long(R/(x^k,y))+long((x^k,y)/(x^k+1,y))


es decir long((x^k,y)/(x^k+1,y))=0. Esto dice que (x^k+1,y)=(x^k,y), luego x^k=ax^k+1+by, entonces x^k(1 − 𝑎𝑥) = 𝑏𝑦 y como 1 − 𝑎𝑥 es una unidad, se deduce que x^k∈ (𝑦) ⊂Q, lo que contradictorio.


Para demostrar la segunda parte, note que si 𝑎𝑙𝑡(𝑃) = 0, entonces 𝑃 es un
ideal primo minimal del anillo y por lo tanto 𝑃 ⊂ 𝑍(𝑅), es decir 𝑥 es un divisor de cero, lo que es contradictorio.∎

Proposición 2. Sea 𝑹 un anillo conmutativo con identidad 𝑵𝒐𝒆𝒕𝒉𝒆𝒓𝒊𝒂𝒏𝒐 y a_i ∈ 𝑹, a_i ≠ 𝟎, ∀ 𝒊 = 𝟏, 𝟐, … , 𝒏 elementos no invertibles. Si 𝑷 es un ideal primo minimal sobre 𝑰 = (a₁, … , a_n), entonces 𝒂𝒍𝒕(𝑷) ≤ 𝒏. Pruebe además que si a₁, … , a_n es una sucesión regular, entonces 𝒂𝒍𝒕(𝑷) = 𝒏.

Demostración. Suponemos sin pérdida de generalidad que (𝑅, 𝑃)es anillo local. El resultado es cierto para 𝑛 = 1. Supondremos que es cierto para 𝑛 − 1. Si es falso para 𝑛, existe una sucesión decreciente 𝑃 = 𝑃₀ ⊋ 𝑃₁ ⊋ ⋯ . ⊋ P_n+1 de ideales primos, donde podremos suponer (usando notherianidad) que no existe 𝐼₀ un ideal primo con 𝑃 ⊋ 𝐼₀ ⊋ 𝑃₁. Como 𝑃 es minimal sobre 𝐼, existe, por ejemplo 𝑎₁ ∉ 𝑃₁. Consideremos el ideal (𝑎₁, 𝑃₁). Es claro, por la elección de 𝑃₁ , que 𝑃 es minimal sobre (𝑎₁, 𝑃₁). Sea el anillo R/(𝑎₁, 𝑃₁). cuyo espectro sólo tiene al ideal primo P/(𝑎₁, 𝑃₁), por lo tanto √0 =P/(𝑎₁, 𝑃₁); luego existe un un entero no negativo t tal que ( P/(𝑎₁)^t=0. Se deduce que 𝑎_i ^t= 𝑟𝑎₁ + 𝑏_i (𝑏_i ∈ 𝑃₁, 𝑖 =2,3, … , 𝑛). Sea el ideal (𝑏₂, … , 𝑏_n), por hipótesis inductiva deducimos que 𝑃 no puede ser minimal sobre (𝑏₂, … , 𝑏_n). Entonces existe un ideal primo 𝑄 tal que (𝑏₂, … , 𝑏_n)⊂ 𝑄 ⊊ 𝑃. Sea el ideal 𝐽 = (𝑎₁, 𝑄). Si existe un ideal primo 𝐼₀ con 𝐽 ⊂ 𝐼₀, entonces 𝐼 ⊂ 𝐼₀ ⊂ 𝑃 ⟹ 𝑃 = 𝐼₀. Sea el dominio R/Q. Probemos que P^*=P/Q es un primo minimal sobre ( a₁^* ) ( a₁^* =a₁+P)· Si 𝐼₀^*= 𝐼₀/Q es un primo minimal sobre ( a₁^* ) deducimos que 𝐽 ⊂𝐼₀, entonces 𝐼₀=P. Por hipótesis inductiva 𝑎𝑙𝑡(𝑃^*)≤ 1. Por otro lado (0) ⊊ 𝑃₁^*⊊ 𝑃^*, lo que es contradictorio.

Para demostrar la segunda parte, supongamos que a₁, … , a_n es una sucesión regular, es decir a_i∉ Z(R/(a₁, … , a_i−1)), y 𝑃 es un primo minimal sobre (a₁, … , a_n). Como 𝑃 ⊃ (a₁, … , a_𝑛−1), 𝑎𝑙𝑡(𝑃) ≥ 𝑛 − 1 y como P no puede ser minimal sobre (a₁, … , a_𝑛−1) ya que a_n∉ Z(R/(a₁, … , a_n−1)), se deduce que alt(P) > 𝑛−1 y por lo tanto el resultado.∎

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Sea (𝑹, 𝒎) un anillo local 𝑵𝒐𝒆𝒕𝒉𝒆𝒓𝒊𝒂𝒏𝒐, luego 𝒎=(a₁, … , a_𝑛) y alt(𝒎)≤ 𝒏 por el resultado anterior, sabemos que sop(R/(a₁, … , a_n))=V((a₁, … , a_n))=𝒎, Lo anterior dice que la familia F={𝒓: 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆 𝒙₁, … . , 𝒙_r 𝒄𝒐𝒏 𝒙_i ∈ 𝒎, sop(R/(x₁, … , x_n))= {𝒎}} es no vacía. Denotamos por d=d(R)=inf(F) y si sop(R/(x₁, … , x_d))= {𝒎}, diremos que x₁, … , x_d es un sistema de parámetro para R.

Proposición 3. d(R)=dim(R)

Demostración. Si 𝑑(𝑅) = 0, dice que 𝑠𝑜𝑝(𝑅) = 𝑉(𝐴𝑛𝑛𝑅) = 𝑉(0) = {𝑚}. Esto dice
que 𝑚 es minimal y por lo tanto 𝑑𝑖𝑚(𝑅) = 𝑎𝑙𝑡(𝑚) = 0. Si 𝑑(𝑅) ≥ 1, existe 𝑥₁, … , 𝑥_𝑑(𝑅) un sistema de parámetros para 𝑅, y por lo tanto 𝑎𝑙𝑡(𝑚) =𝑑𝑖𝑚(𝑅) ≤ 𝑑(𝑅).


Sea 𝑑𝑖𝑚(𝑅) = 𝑛 ≥ 1. Si existe un sistema de parámetro { 𝑥₁} para 𝑅, luego 𝑎𝑙𝑡(𝑚) = 𝑑𝑖𝑚(𝑅) = 1 (de lo contrario 𝑚 es primo minimal), lo que resolvería lo afirmado. Por lo tanto 𝑑(𝑅)>1. En este caso 𝑚 ⊄ 𝑍(𝑅)(de lo contrario 𝑚 es un primo minimal). Existe un 𝑥₁ ∈ 𝑚, elemento regular y por lo tanto para todo primo minimal 𝑃 sobre (𝑥₁) 𝑎𝑙𝑡(𝑃) ≥1 . Supongamos que para 𝑖, hemos hallado inductivamente una sucesión 𝑥₁, … , 𝑥_i en 𝑚, tales que 𝑎𝑙𝑡(𝑃) ≥ 𝑖, ∀ 𝑃 primo minimal sobre (𝑥₁, … , 𝑥_i) (𝑖 ≤ 𝑛). Si i=n, entonces sop(R/(x₁, … , x_n))= {𝒎} , de lo contrario alt(m) > n, lo que es contradictorio. Es decir x₁, … , x_n es un sistema de parámetros para 𝑅. Esto diría que 𝑑(𝑅) = 𝑑𝑖𝑚(𝑅). Sea i < n y 𝑃₁, ⋯ , 𝑃_s los primos minimales sobre (x₁, … , x_i). Es claro que 𝑚 ⊄ 𝑃₁ ∪ ⋯ ∪ 𝑃_s . Existe 𝑥_i+1 ∈ 𝑚 − (𝑃₁ ∪ ⋯ ∪ 𝑃_s). Sea 𝑃 un primo minimal sobre (x₁, … ,x_i, x_i+1). Es claro que P no puede ser minimal sobre (x₁, … , x_i), es decir existe un 𝑃_j minimal sobre (x₁, … , x_i) contenido estrictamente en P. Se deduce que alt(P)=i+1. Por un procedimiento similar al caso anterior, llegamos a que n≥d(R).∎

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Corolario 1 Si 𝑹 es un anillo conmutativo con identidad local noetheriano y 𝒙 ∈ 𝑹 es nilpotente, entonces 𝒂𝒍𝒕(𝒙) = 0.

Demostración. Sea 𝑃 un primo minimal sobre (𝑥). Si 𝑎𝑙𝑡(𝑃) ≥ 1, entonces existe 𝑃₁ ideal primo tal que 𝑃 ⊋ 𝑃₁, y como 𝑥ⁿ = 0, para 𝑛 ∈ 𝑁, deducimos que 𝑥 ∈ 𝑃₁, lo que es contradictorio.∎

Corolario 2 Si (𝑹,m) es un anillo conmutativo con identidad noetherino, entonces dim(R/(x₁, … , x_n))+n ≥dim(R). La igualdad se da si x₁, … , x_n es parte de un sistema de parámetros.

Demostración. Sea R^{^}=R/(x₁, … , x_n) y y^{^}_i=y_i+(x₁, … , x_n) (i=,2,...,r) un sistema de parámetros para el anillo R^{^}. Sabemos que V(y^{^}₁,...,y^{^}_r)=m^{^} y dimR^{^}=r. Como R/(x₁, … , x_n)/(y^{^}₁,...,y^{^}_r)≅R/(x₁, … , x_n,y₁,...,y_r), luego dim(R)≤n+r=n+dim((R/(x₁, … , x_n))).

Supongamos que (x₁, … , x_n,y₁,...,y_r) es un sistema de parámetro para R, luego dimR=n+r y es fácil ver que y^{^}₁,...,y^{^}_r es un sistema de parámetros para R^{^}.∎

Corolario 3. Sea 𝒇:𝑹 → 𝑺 un morfismo de anillos Noetherianos conmutativos con identidad, tales que (𝑹,𝜶) y (𝑺,𝜷) son anillos locales con 𝒇(𝜶) ⊂ 𝜷. Entonces 𝐝𝐢𝐦(𝑺) ≤ 𝐝𝐢𝐦(𝑹) + 𝐝𝐢𝐦(S/𝜶^e) (𝜶^e=f(𝜶)S el ideal extensión).

Demostración. Supongamos que 𝑑𝑖𝑚(𝑅) = 𝑒 y dim(𝑆) = 𝑑. Consideremos un sistema de parámetros x₁, … , x_e 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑅, y un sistema de parámetros y₁+𝜶^e,...,y_d+𝜶^e para S/𝜶^e. Existe un 𝑠 tal que 𝛼^s ⊂ (x₁, ⋯ , x_e) y un 𝑡 tal que (𝛽/𝜶^e)^t ⊂ ( y₁+𝜶^e,...,y_d+𝜶^e ), deducimos que (𝛽/𝜶^e)^st ⊂ ( y₁+𝜶^e,...,y_d+𝜶^e )^s, y por lo tanto 𝛽 ^st ⊂((f(x₁), ⋯ , f(x_e), y₁, ⋯ , y_d )𝑆. Es decir dim(𝑆) ≤ 𝑒 + 𝑑. Lo que prueba lo pedido∎

FUENTES (1) Jean R. Strooker : Homological Questions in Local Algebra. London Mathematical Society Lecture Series. Note 145. 1990.

(2) M.F. Atiyay, y I. G Macdonal: Introducción al Algebra Conmutativa. Editorial Reverte. 1978.