DESCOMPOSICIÓN PRIMARIA DE MÓDULOS

Sea M un módulo sobre A, donde A es un anillo conmutativo con identidad. Si N es un submódulo de M, definimos su radical, como el subconjunto del anillo A, definido mediante:


r_M(N)={ x ∈A: xⁿM ⊆N para algún n > 0}

Recordemos que (M:N)={ x ∈A: xM ⊆N } se le llama un ideal fraccionario. Vale el siguiente resultado:

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r_M(N)=r(M:N)=r(An(M/N))

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Si x ∈ r_M(N), xⁿM ⊆N para algún n > 0 y; esto dice que xⁿ ∈(M:N), es decir x∈r(M:N) (radical de (M:N)). Esto prueba que r_M(N)⊆r(M:N), La otra inclusión se prueba de manera similar. Si ahora x ∈ r(An(M/N)) (radical del anulador de M/N), existe n > 0, tal que xⁿ ∈An(M/N), es decir xⁿ M/N=0, luego xⁿM ⊆N. Esto prueba que r(An(M/N))⊆r(M:N). La otra inclusión se sigue de manera similar.

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Ahora consideremos un módulo M y un elemento x del anillo A. Sea f_x:M→M el morfismo de módulo, dado mediante f_x(m)=xm. Si Ker( f_x)≠∅, diremos que x es un divisor de cero de M, y denotaremos por Z(M) a todos los divisores de cero de M. Si siempre que x es un divisor de cero de M/N , implica que x es un elemento nilpotente de M/N ( es decir existe n > 0, tal que f_xⁿ:M/N→M/N es el morfismo nulo), diremos que N es un submódulo primario.

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Si N es un submodulo primario de M, entonces r_M(N)=P es un ideal primo. En este caso diremos que N es un submódulo P-primario.

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Para verlo, sólo hay que demostrar que An(M/N) es un ideal primario. En efecto, sea xy∈An(M/N) . Si x∉An(M/N), existe m∈M, tal que xm∉N. Como y(xm+N)=0, deducimos que y∈Z (M/N) y como N es primario, entonces existe n > 0 tal que yⁿ∈An(M/N). Esto prueba que r(An(M/N)) es primo, se deduce lo afirmado.

Vale el siguiente resultado:

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Si N₁ y N₂ son submódulos P-primarios de M, entonces N₁ ∩ N₂.

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Primero veamos que N₁ ∩ N₂ es primario. Sea x∈Z (M/ N₁ ∩ N₂), luego existe m ∈M−N₁ ∩ N₂, tal que xm∈N₁ ∩ N₂. Si x∉ N₂, luego existe n> 0 tal que xⁿ∈An(M/N₂). Pero r(An(M/N₁)=r(An(M/N₁), luego existe m> 0, tal que x^m∈An(M/N₁). Si n≥m, entonces xⁿM⊆N₁ ∩ N₂. De esta manera se prueba que N₁ ∩ N₂ es primario. Como r(N₁ ∩ N₂)=r(N₁) ∩r( N₂)=P, se sigue el resultado.

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Supondremos ahora ue M es un módulo finitamente generado sobre una anillo conmutativo con unidad noetheriano A. Si N es un submódulo propio de M, una descomposición primaria de N en M, es una representación de N como una intersección:

N=N₁ ∩ --- ∩ N_n

de submódulos primarios, tales que r( N_i)=P_i son todos distintos, y ninguna de las componentes puede omitirse, es decir ∩_j≠iN_j−N_i≠∅ para cada i=1,2,...,n.

Vamos a demostrar que tal descomposición existe, y supondremos sin pérdida de generalidad que N=0.

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Para demostrarlo es necesario algunos conocimientos sobre primos asociados de un módulo.

Si m∈M, se define su anulador por An(m)=(0:m)={ x ∈A: xm=0 }. Para los ideales primos P, tales que existe m≠0 tal que An(m)=P , diremos que P es un primo asociado de M. Es claro que si P es un primo asociado, entonces An(M)⊆P. Enumeremos algunas propiedades importantes de los primos asociados, que aceptamos sin demostración:

(1) As(M)≠∅, si y sólo si, M≠0.

(2) Si X es una subfamilia propia de los primos asociados, existe un submódulo propio N de M, tal que As(N)=X y As(M/N)=As(M)−X.

(3) Z(M)=∪_P∈As(M)P

(4) r(An(M))= ∩_P∈As(M)P

(5) As(M⊕W )=As(M)∪As(W)

(6) Para M finitamente generado sobre un anillo noeteheriano, la familia de los primos asociados es finita.

Ahora consideremos As(M)={ P₁,....,P_n } y N_i un submódulo propio de M, tal que As(N_i)=As(M)−{ P_i } y As(M/N_i)={ P_i }.

Vamos a probar que 0=N₁ ∩ --- ∩ N_n. En efecto, As(N₁ ∩ --- ∩ N_n)⊆ As(N₁) ∩ --- ∩ As(N_n)=∅, luego 0=N₁ ∩ --- ∩ N_n.

Veamos que ∩_j≠iN_j≠∅ para cada i=1,2,...,n. De lo contrario la aplicación f:M →⊕_j≠iM/N_j definida por por f(m)=⊕_j≠im+N_j es inyectiva. De lo que se deduce que As(M)⊆ ∪_j≠iAS(M/N_j)=As(M)−{ P_i}, lo que es contradictorio. De lo anterior deducimos que ∩_j≠iN_j−N_i≠∅ para cada i=1,2,...,n.

Finalmente, note que r(An(M/N_i))=As(M/N_i)=P_i.


Es importenta destacar que lo anteriormente estudiado corresponde al ejercicio que sobre descomposición primaria, contiene el capítulo 4 de M.F. Atiyay, y I. G Macdonal: Introducción al Algebra Conmutativa. Editorial Reverte. 1978.