BREVE MATEMATICOS (UNA NOTA SOBRE LOS OPERADORES DE RIESZ)

Sea H un espacio de Hilbert separable y M un subespacio de H (M es un subespacio cerrado en la topología de H). Es conocido que H=M⊕M^⊥ y el operador P_M, definido por P_M(x⊕y)=x, se le llama una proyección ortogonal. Si M es de dimensión infinita, se dice que la proyección ortogonal P_M es infinita.

Un operador acotado K:H →H, se dice que es compacto, si dada una sucesión acotada x_n, entonces existe una subsucesión x_nk y un vector y en H, tal que T(x_nk)→y.

Una propiedad importante en los espacios de Hilbert separables H, es que dada una familia ortonormal e_n , entonces e_n→0 débilmente; es decir «e_n ,x »→0 , para todo vector x en H. Conociendo esta propiedad, podemos demostrar que una proyección ortogonal P_M no es compacta. En efecto, de lo contrario, considere una familia ortonormal e_n en M. Por ser P_M compacto y e_n→0 débilmente, entonces P_M(e_n)=e_n→P_M(0)=0, donde la convergencia es en la topología en H, lo que es contradictoria ya que ||e_n||=1.

Un operador acotado T:H →H es casinilpotente, si r(T)=lim_n→∞||Tⁿ||^1/n=0. Un operador acotado T:H →H es un operador de Riesz, si existen operadores acotados, K compacto y B casinilpotente con T=B+K. Es decir T es una perturbación compacta de un operador casinilpotente.

Si T:H →H es un operador acota, W(T)={ «T(x),x »: ||x||=1} es el rango numérico del operador T y W_e(T)=∩_{K compacto}W(T+K) ^━ (la raya indica clausura en la topología usual de los números complejos C) es el rango numérico esencial de T. La siguiente es una importante caracterización del rango numérico esencial de un operador:

Son equivalentes:

(a) λ pertenece a W_e(T)

(b) Existe una sucesión x _n de vectores unitarios, tales que x_n→0 débilmente y «T(x_n ), x_n »→λ

(c)Existe una sucesión e _n de vectores ortonormales, tales que «T(e_n ),e_n »→λ

(d) Existe un proyección ortogonal infinita P_M , tal que P_M TP_M −λ P_M es compacto.

Si denotamos por K(H) la familia de todos los operadores compactos y por B(H) de todos los operadores acotados sobre X, consideramos el álgebra de Calkin ^B(H)/_K(X), la que constituye un álgebra de Banach donde la norma de una clase v(T)=T+K(H), viene definida por ||v(T)||=inf{ ||T+K||: K compacto} .

Sea un operador de Riesz T=B+K y λ∈W_e(T). Por la parte (d) del resultado anterior, existe una proyección ortogonal tal que v( P_M BP_M )=λv( P_M ). Se deduce que v( ( P_M BP_M )ⁿ )=λⁿ v( P_M ) y tomando norma ||v( ( P_M BP_M )ⁿ )||=|λ|ⁿ ||v( P_M )||=|λ|ⁿ , luego r( v( P_M BP_M ))=lim_n→∞||v( ( P_M BP_M )ⁿ )||^1/n=| λ|.

Hemos probado que dado un operador de Riesz sobre un espacios de Hilbert separable y un elemento de su rango numérico esencial, existe una clase del álgebra de Calkin, que tiene a su módulo como su radio espectral.