[계량투자]얼마나 투자해야 할까?

sungkibae (42)in #kr • 6 years ago (edited)

안녕하십니까. 금융과 데이터분석을 좋아(만)하는 배성기입니다!
앞으로 금융과 데이터분석에 관한 글들을 쓸 예정입니다.
팔로우해주시면 감사합니다

이번에 이야기 할 것은
"얼마나 투자할 것인가?"
에 대한 것 입니다.

글의 이해를 위해 이전글들을 읽어 주시면 감사하겠습니다.
좋은기업은 좋은주식일까?
계량투자란 무엇인가?(1)
계량투자란 무엇인가?(2)

계량이란 수식화하여 나타낼수 있는 것을 의미합니다.

즉, 투자에서 생각해본다면
수익(Y) = a + bX와 같은 식으로 나타낼수 있는 것을 의미합니다.

또한 위와 같은 식을 과거의 자료를 이용해 통계적으로 검증하는 것을 이야기합니다.

계량투자의 일반적인 로직은 아래와 같습니다.

간혹 단순히 factor를 조립한 백테스팅결과만으로 전략의 성과를 이야기하시는데(P/E+P/B+MOM 했더니 CAGR30% Mdd 9% 최고의전략!)
그것은 명백히 잘못된 행위입니다.
이론적 근거와 통계학적 검증을 통해 나온 결과역시 과적합의 오류와 미래의 불확실성을 내포하고 있습니다.
이러한 과정을 거치지 않은 백테스팅결과만을 신뢰하시고 투자를 하시면 후회할 확..

우리는 좋은기업은 좋은주식일까?에서
“작은 기업일수록 높은 수익률을 가질 것이다”라는 가설을 세웠습니다.

이것을 수식화한다면 다음과 같습니다.

*수익 = a + b x (기업의 크기)
단, b < 0

이 수식은 회귀분석을 통해,
통계적인 검증을 할 수 있습니다.

통계적으로 위의 수식이 검증이 되었다고 가정해봅시다.
그렇다면 다음으로 생각할것은

"어떻게 투자할지?"
입니다.

투자를 가장 간단하게 생각해본다면,

1)자산선정: 어디에 투자할 것인지?
2)자산 배분: 얼마나 투자할 것인지?

의 두가지 문제로 나눌 수 있습니다.

오늘은 "얼마나 투자할 것인지?"에 대해서만 다루도록 하겠습니다.

위의 두가지 문제를 다른 말로 표현하면
"포트폴리오를 어떻게 구성하는가?"로 말할 수 있습니다.

포트폴리오란 아래의 그림같이 투자한 상품에 대해 정리해 둔 표로,
어디에? 얼마나? 투자한지를 적어놓은 것입니다.

그렇다면 포트폴리오의 목적은 무엇일까요?

투자하는 이유가 뭐 있겠습니까..
바로,
"돈 많이 버는거!"입니다.

돈을 잘 버는 것을 수식적으로 표현하면,
다음식에서 포트폴리오의 효용을 최대화하는 문제가 됩니다.

위의 수식에서,
포트폴리오의 기대수익 R_p는
(특정종목의 비중 * 특정종목의 기대수익) 의 합으로 결정됩니다.

여기서 특정종목의 기대수익은 우리의 가설에 따라
a + b x (기업의크기)로 결정되어 집니다.

위험거부도 계수 람다(Lambda)는 투자자가 얼마만큼의 위험을 감수하는지에 따라 달라집니다.

포트폴리오 위험 sigma^2_p는 비중행렬 w와 각 자산 수익률의 공분산 행렬 Omega의 식인
sqrt(transpose(W) %x% Omega %x% W)로 결정됩니다.

sqrt: 제곱근, transpose: 전치, %x%: 행렬곱

그렇다면 실제로 얼마나 투자할지를 정해보도록 하겠습니다.

저희가 투자하기로 결정한 2개의 종목이 있습니다.
각 종목의 시가총액과 공분산은 다음과 같습니다.

회귀분석을 통해 다음과 같은 식을 찾았다고 가정합니다.
기대수익 = 0.3 – 0.02 * 시가총액(단위: 억)

이 때, Lambda를 고정하면
포트폴리오 효용 U_p는 비중행렬 W에 대한 식으로 나타낼 수 있습니다.

성기전자의 비중에 따른 포트폴리오 효용의 변화를 보면 아래와 같습니다.

포트폴리오의 효용은 W에 의해 변하며,
포트폴리오의 효용을 최대화하는 W가 존재하는 것을 확인 할 수 있습니다.

그렇다면 어떻게 효용을 최대화하는 W를 찾을 수 있을까요?
이러한 문제를 해결하는 것을 경사상승법(Gradient ascent Method)이라 합니다.

경사상승법이란 값을 기울어진 방향으로 조금씩(Learning rate) 이동하면서 극점을 찾는 방법을 이야기 합니다.

물론 그냥 수학적으로 편미분해서 풀으셔도 됩니다.

궁금할지도 모르는 분들을 위한 코드(R)

cap <- matrix(c(2.15, 4.3))
cov <- matrix(c(0.05,0.03, 0.03, 0.1),nrow = 2)
lambda <- 1

Portfolio_utility <- vector()
for(W in seq(0,1,0.01)){
  weight <- matrix(c(W, 1-W))
  
  Rp <- t(0.3 - 0.02 * cap) %*% weight
  Risk <- sqrt( t(weight) %*% cov %*% weight)
  
  Portfolio_utility <- append(Portfolio_utility,Rp - lambda*Risk)
}
plot(Portfolio_utility ~ seq(0,1,0.01),
     main = "포트폴리오 효용~성기전자비중",
     xlab="W_Sungki_Electronics")

조금만 응용하시면,
Risk_parity같은걸 할 수 있습니다.
관련해서는 옛날에 블로그에 써둔 글을 공유합니다.
Risk Parity 읽어보기