[수론] 수포자를 위한 수론 (2)

snuff12 (65)in #kr • 8 years ago

안녕하세요 @snuff12입니다
문과도, 수포자도 이해할 수 있는, 그러나 전공자도 증명하기 힘든
정수론의 세계로 여러분을 초대합니다

오늘은 삼각수와 사각수에 대해 알아보도록 하겠습니다
~~육각수는 아닙니다~~
물론 오각수, 육각수도 있긴 하지만, 넘어가도록 하겠습니다

피타고라스

피타고라스는 정수를 종교처럼 숭배했습니다
무리수의 존재를 알게된 제자 '히파수스'를 죽일정도로
정수에 푹 빠져있었죠.
(히파수스를 죽였지만, 무리수는 그리스 전역으로 퍼졌고, 수론연구도 약해지게 됩니다. 이때부터 기하학이 발전하기 시작했죠)

피타고라스는 숫자에 의미를 부여했습니다

숫자	의미
1	모든 수의 생성원, 점
2	최초의 여성수, 소신을 상징, 선
3	최초의 진정한 남성수, 조화를 상징, 면
4	입체
7	떠돌이별의 수, 경외의 대상
10	가장 신성한 수

10은 1+2+3+4를 더한 수였기 때문입니다
점 선 면 입체를 더한 수였죠.

그리고 이 10은 삼각수입니다

삼각수

첫 번째 삼각수는 1, 두 번째 삼각수는 1+2=3, 그리고 n번째 삼각수는 1+2+...+n 입니다
1부터 n까지의 모든 자연수를 더한 수이죠.

이와 관련된 대표적 일화로는 가우스가 있습니다

학교 선생님이 1부터 100까지 더하라는 문제를 벌로 내줬습니다
선생님은 당연히 수십분이 걸릴줄 알고 있었는데
가우스가 이를 순식간에 풀어버려서 당황했다고 합니다
가우스는 1+100=101, 2+99=101, ... , 50+51=101이라는 사실을 눈치채고
1+2+...+100 = 101*50=5050이라는 단순한 계산으로 풀어버렸다고 합니다

가우스는 삼각수의 계산법을 알아낸거죠
n번째 삼각수는 n+1이 n/2개 있으니, n(n+1)/2 가 됩니다

도형을 이용한 방법도 있습니다
n번째 삼각수 두개를 더하면, 가로가 n+1, 세로가 n인 직사각형이 만들어지고
이는 n(n+1)입니다
삼각수 두개를 더한게 n(n+1)이니, 삼각수 하나는 n(n+1)/2가 되는거죠.

사각수

사각수는 조금 더 쉽습니다
첫 번째 사각수는 1, 두 번째 사각수는 1+3=4, n번째 사각수는 1+3+...+(2n-1)=n^2
n번째 사각수는 n^2인 것을 누구나 알 수 있죠.
하지만, 1부터 n번째 홀수까지 다 더한게 n^2이라는 사실은 그리 잘 알려져 있지 않습니다
(물론 고등학교 수열문제를 푼 기억이 남아있다면 아는 사실이긴 하지만요)

이처럼 쓸데없지만, 홀수를 더하면 제곱수가 되는 등
신기하기만 한 수론은 볼수록 재밌습니다 ㅎㅎ