[수학] 단위분수 이야기 – 고대 이집트의 분배법

안녕하세요! ryanhan입니다.
오늘은 단위분수에 대한 이야기를 하려고 합니다.
단위분수의 정의는 분자가 1인 분수입니다.
이런 단위분수는 고대 이집트에서 ‘분배’에 쓰였습니다.
고대에 가장 많이 활용된 분수인 셈이죠.

고대 이집트의 분배법

예를 들어 사과 3개를 4명이 나눠 가진다면,
한 사람이 가져갈 사과의 개수는 3/4개 일 것 입니다.
3/4은 어떤 개념이었을까요?
사과 한조각을 4등분한 것이 1/4 일 것이고,
이것을 3조각씩 가져가면 3/4였을 겁니다.

그런데 이런 방식은 귀찮습니다.
모든 사과를 4등분해야하기 때문입니다.
대신 3/4=1/2 + 1/4 라는 단위분수의 합을 이용하면
사과 3개를 4명이 나눠 가질 때,
2개는 절반으로 쪼개어 하나씩 나눠 가지고.
1개는 4등분하여 한 조각씩 가져가면 되는 것입니다.

이처럼 단위분수는 분배에서 자연스럽게 등장하는 개념입니다.
특히, 분배를 받는 사람수가 늘어가면서, 더욱 자주 쓰였을 것입니다.
예를 들어, 7명이 사과4개를 나눠 가지려면 어떻게 할까요?
사과4개 각각을 7등분하여 나눠 가질 수도 있겠지만,
4/7=1/2+1/14와 같은 식을 이용하여 쉽게 나눠 가질 수 있습니다.

요약하면 사과를 분배할 때,
이집트 사람들은 다음과 같은 방법을 이용했을 것입니다.
[a개의 사과를 b명이 나눠 가질 때]

1. 한 사람이 가져야 할 사과는 a/b이다.
2. a/b보다 작은 최대의 단위분수(1/c)를 찾는다.
3. 각각이 1/c을 나눠 갖는다.
4. 한 사람이 가져야 할 사과는 (a/b) – (1/c)이다.
5. 1~4를 반복한다.
   최대의 단위분수를 찾는 것은,
   분배물을 적게 조각내야, 공평하게 배분하기 쉽기 때문입니다.
   이런 알고리즘을 피보나치 방법(Greedy 알고리즘)이라고 합니다.

단위분수와 이항분리

단위 분수는 나아가, 1/n꼴의 분수를
단위 분수의 합으로 항상 나타낼 수 있는지 연구되었습니다.
요즘에는 이항분리라는 이름으로 나오는
1/n = 1/(n+1) + 1/n(n+1) 꼴로 표현할 수 있게 되었습니다.

에르되시 - 스트라우스 추측

마지막으로 소개해드릴 것은,
단위분수와 관련된 미해결 난제입니다.
1/n을 두 개의 단위분수의 합으로 표현하는데 성공하고,
2/n = 1/n + 1/n 이며,

그 다음으로 생각해보게 된 문제는
4/n를 항상 세 개의 단위 분수의 합으로 표현할 수 있는가?
이 추측은 현재까지 증명이나 반례가 나오지 않았다고 합니다.
단위분수가 흥미로우시다면, 도전해보세요!!

오늘은 단위분수에 대한 이야기를 해보았습니다.
재밌게 보셨나요?
감사합니다!
ryanhan이었습니다.
(토요일에 시험이 있는데, 공부가 안되네요ㅠㅠ)