[수학]배수판정법 이야기(2) – 숫자 1001의 비밀

in #kr5 years ago

안녕하세요! ryanhan입니다.
지난번 포스팅에서 9의 배수판정법을 알아보는 시간을 통해
배수판정법에서 ‘자릿수’에 집중하다는 것이 중요하다는 것을 알았습니다.
그렇다면 또 어떤 수들의 배수판정법들이 있을까요?
한 번 알아보도록 하겠습니다.
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9의 배수판정법에 대한 고찰

저번 포스팅에서 알아본 9의 배수 판정법을 다시 정리해보면,
어떤 수를 자릿수에 집중해서 보면,
10000a+1000b+100c+10d+e 꼴로 쓸 수 있다고 하였습니다.
(1~99999까지의 수.)

이 수를 9로 묶어 보면
9(1111a+111b+11c+d)+(a+b+c+d+e)로 나타낼 수 있기 때문에
(a+b+c+d+e)가 9의 배수이면
10000a+1000b+100c+10d+e가 9의 배수라고 할 수 있습니다.

이렇게 될 수 있었던 이유를 생각해보자면,
9가 10에서 1을 뺀 수이기 때문일 것입니다.
9로 묶으면 자릿수가 하나씩 남게 되는 것이죠.
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9와 11의 관계.

9가 10에서 1을 뺀 수여서 쉽게 배수판정법을 알 수 있었습니다.
그러면 혹시, 10에서 1을 더한 수인 11은 어떨까요?

수식을 이용해서 논해보겠습니다.
10000a+1000b+100c+10d+e를 11로 묶어볼까요?
11(909a+90b+9c)+(a+10b+c+10d+e)가 되는군요.
a+10b+c+10d+e라니…나쁘진 않지만 10b, 10d가 거슬립니다.
여기에서 한 걸음 나아가서 다음과 같은 생각을 해봅니다.
10b를 11로 묶으면, 11(b) – b 꼴로 표현할 수 있지 않을까요?

이를 이용해서 다시 묶어보면,
11(909a+91b+9c+d)+(a-b+c-d+e)로 묶을 수 있습니다!!
즉, a-b+c-d+e가 11의 배수이면,
원래 수인 10000a+1000b+100c+10d+e가 11의 배수입니다.

홀수번째 자리의 합과 짝수번째 자리의 합의 차
이용하여 11의 배수인지 판단해볼 수 있겠습니다!

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숫자 1001의 비밀

9의 배수와 11의 배수를 판단하는 과정에서,
10에서 1차이난다는 것이 중요한 역할을 한다는 것을 알았습니다.
그 다음으로 생각해볼 수는
99나 101의 배수 판단법일 것입니다.
이것도 마찬가지로 ‘묶는 방법’을 통해서 판단할 수 있겠죠.
하지만, 99의 배수는 9의 배수이자 11의 배수인 성질을 이용하는게 더 편하고
101은 소수인데, 이렇게 큰 소수의 배수는 판단할 일이 거의 없습니다.
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그런데, 그 다음으로 생각해볼 수인 1001은 한 가지 비밀을 가지고 있습니다.
1001은 소수일 것 같이 생겼는데요,

실제로 1001 = 7 x 11 x 13으로 소인수분해가 된다는 점입니다.

(5보다 큰 연속된 세 소수의 곱이군요!! 놀랍습니다.)
이 성질을 이용하면 7과 13의 배수판정법을 구할 수 있습니다.
7의 배수판정법에 대해서 논해보겠습니다.

100000a+10000b+1000c+100d+10e+f를
7로 묶는 대신 1001로 묶을 겁니다.
1001로 묶는 것은 7로 묶는 효과를 포함하고 있죠.
1001(100a+10b+c) + (-100a-10b-c+100d+10e+f)
그럼 위와 같이 묶이게 되는데요.
이것은 어떤 의미를 가지고 있을까요?

일단 그냥 보기에는
(100d+10e+f)-(100a+10b+c)가 11의 배수 인지 확인하면 됩니다.
그런데 (100d+10e+f) 와 (100a+10b+c)는
원래의 숫자를 세 자리씩 끊어서 보는 것 과 같습니다!!

예를 들어, 원래 숫자가 108,374였다면
(100a+10b+c)=108이고
(100d+10e+f)=374일 것입니다.
이제 이 둘의 차인 266이 7의 배수인지 확인해보면 되겠습니다.
실제로 266이 7의 배수이기 때문에 108374도 7의 배수입니다!

즉, 7의 배수 판정법은
뒤에서부터 숫자를 세 개씩 끊어서 교대로 빼고 더한 수가
7의 배수인지 확인하는 방법을 통해 판단할 수 있습니다.
비슷한 방법으로 13의 배수 판정법도 구할 수 있습니다!!
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오늘은 숫자1001속에 숨어있는 비밀과
그것을 이용한 7의 배수 판정법을 알아봤습니다.
설명을 못해서 글이 너무 길어졌네요…
나중 포스팅에서 더욱 쉬운 7의 배수 판정법인
‘라이언스의 방법’에 대해서도 다뤄보겠습니다.
읽어 주신 분들 정말 감사드립니다.
ryanhan이었습니다.

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아 아 아
숫자들이 눈앞을 어지럽히네요ㅜ
이해해볼려고 노력해봤지만 수학찐따는 그냥 보팅만누르고 갑니다 ㅜ

아 ㅠㅠ 너무 복잡하게 설명된 것 같아서 아쉽습니다.
보팅으로 응원해주셔서 감사합니다!

개인적으로 두자리수의 배수보다도... 한자리수 의 배수 판별법... 특히 4의 배수 8의배수 7의 배수는 교과과정에 들어와도 된다고 봅니다... ㅠㅠ 수에 대해서 깊게 생각해 볼 수 있는데 내용도 어렵지 않구... ㅠㅠ 좋은 내용정리 보고 갑니다.

교과과정에서 빼기에 아쉬운 주제들이 많죠 ㅠㅠㅠ
인수분해와도 관련이 있는데 아쉬워요.

앗. 이거슨 수학....
이 아니라 판정법이군요!
ㅋㅋㅋㅋ

ㅋㅋㅋ 수학의 일종이죠!!!
은근히 쓰일때가 있아요 ㅎㅎㅎ

수학을 놓은지 너무 오래 되서 그런가 숫자 울렁증이... ㅎㅎㅎ

주말 즐겁게 보내세요 :)

lesto님 안녕하세요!!
너무 복잡하게 써놓은것같아요 ㅠㅠ
lesto님도 즐거운 주말되세요!

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