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13일의 금요일은 특별한가?

그레고리력의 주기

그레고리력의 규칙을 다시한번 살펴보자.

• 평년은 365일로 한다.

• 4의 배수인 해는 원칙적으로 윤년 (366일)

• 100의 배수인 해는 윤년에서 제외

• 400의 배수이면 예외적으로 윤년에 포함시킴.

따라서 그레고리력은 음력과 관련된 설날, 추석, 24절기 등을 제외하면, 순전히 태양력만을 고려했을 경우 4, 100, 400의 최소공배수인 400년 주기로 반복된다.

13일의 금요일은 특별한 날인가?

어디까지나 미신일 뿐 이지만, 서구권에서 굉장히 불길한 날로 여기는 13일의 금요일에 관해서 알아보자. 13일의 금요일이 특별한 날인지를 살펴보려면, 400년의 한 주기 내에서 13일의 금요일이 몇 번 나오는지 알아 볼 필요가 있다. 400년은

일

이므로 이들을 모두 살펴봐야 한다. 약 14만 6천개의 데이터를 (물론 규칙적이므로 직접 하나하나 세어볼 수 있지만) 다루긴 너무 귀찮으므로 매스매티카를 이용해 보자. 다음은 2000년 1월 1일 부터 2399년 12월 31일까지 13일의 금요일이 어떤 요일인지, 그리고 어느 달에 속하는지를 일목요연하게 출력하는 매스매티카 코드이다.

Needs["Calendar`"];
days = {Monday, Tuesday, Wednesday, Thursday, Friday, Saturday, 
   Sunday};
c = Count[
     Flatten[Table[
       DayName[{y, m, 13}], {y, 2000, 2399}, {m, 12}]], #] & /@ days;
       
TableForm[{days, c, PaddedForm[#, {6, 4}] & /@ (100. c/Plus @@ c), 
  ToString //@ Flatten[Position[Sort[c, Greater], #]] & /@ c}, 
 TableDirections -> {Row, Column}, 
 TableHeadings -> {{"day", "numbers of 13s", "percentage", "rank"}, 
   None}]

자연어를 이해하는 매스매티카 덕에 0,1,2,3,...,6 같은 나머지를 사용하지 않고 직접 일, 월, 화 로 입력해도 된다. (역시 편리함!) 이에 대한 출력은 다음과 같다.

day	numbers of 13s	percentage	rank
Monday	685	14.2708	{4, 5}
Tuesday	685	14.2708	{4, 5}
Wednesday	687	14.3125	{2, 3}
Thursday	684	14.2500	{6, 7}
Friday	688	14.3333	{1}
Saturday	684	14.2500	{6, 7}
Sunday	687	14.3125	{2, 3}

이 표를 보면 13일의 금요일이 688번으로 가장 많은 건 사실이지만 (Rank 1), 다른 값들은 687, 686, 685, 684로 그렇게 많이 차이나지는 않음을 알 수 있다. 따라서 13일의 금요일은 다른 날보다 400년 동안 최대 3일 밖에 차이나지 않는 달력상으로는 평범한 날들 중 하나이다.

13일의 금요일은 매 년 항상 있을 까?

이건 또 다른 문제인데 다시말해 매 년 13일의 금요일 적어도 한 번 존재하냐는 것이다. 이를 위해서는 모든 경우의 수를 조사해봐야 한다. 여기서 모든 경우의 수란

• 각 년도의 1월 1일이 무슨 요일인지

• 당해가 윤년인지 평년인지

를 말하는 것이다. 1월 1일을 첫 번째 날로 놓고, 각 달의 13일이 1년 중 몇 번 째 날인지 세면 된다.

평년의 경우

날짜	1월 1일과의 차이	7로 나눈 나머지
01/13	13	6
02/13	44	2
03/13	72	2
04/13	103	5
05/13	133	0
06/13	164	3
07/13	194	5
08/13	225	1
09/13	256	4
10/13	286	6
11/13	317	2
12/13	347	4

따라서 1월 1일의 요일 별로 다시 나누어 보면 다음과 같다.

1월 1일의 요일	13일의 금요일이 나오려면	13일의 금요일이 있는 달
일요일	7로 나눈나머지 = 6	1월, 10월
월요일	7로 나눈나머지 = 5	4월, 7월
화요일	7로 나눈나머지 = 4	9월, 12월
수요일	7로 나눈나머지 = 3	6월
목요일	7로 나눈나머지 = 2	2월, 3월, 10월
금요일	7로 나눈나머지 = 1	8월
토요일	7로 나눈나머지 = 0	5월

즉 평년의 경우 13일의 금요일이 없는 해는 없으며, 최대 3번 까지 나올 수 있다.

윤년의 경우

날짜	1월 1일과의 차이	7로 나눈 나머지
01/13	13	6
02/13	44	2
03/13	73	3
04/13	104	6
05/13	134	1
06/13	165	4
07/13	195	6
08/13	226	2
09/13	257	5
10/13	287	0
11/13	318	3
12/13	348	5

따라서 1월 1일의 요일 별로 다시 나누어 보면 다음과 같다.

1월 1일의 요일	13일의 금요일이 나오려면	13일의 금요일이 있는 달
일요일	7로 나눈나머지 = 6	1월, 4월, 7월
월요일	7로 나눈나머지 = 5	9월, 12월
화요일	7로 나눈나머지 = 4	6월
수요일	7로 나눈나머지 = 3	3월, 11월
목요일	7로 나눈나머지 = 2	2월, 8월
금요일	7로 나눈나머지 = 1	5월
토요일	7로 나눈나머지 = 0	10월

즉 윤년의 경우도 마찬가지로 13일의 금요일이 없는 해는 없으며, 최대 3번까지 나올 수 있다.

실제 예시

• 올해는 평년이고 1월 1일은 월 요일 이었으므로, 이미 4월과 7월에 13일의 금요일이 왔었고 아쉽게도(?!) 13일의 금요일은 올해 없다.

• 내년(2019년)은 평년이고 1월 1일은 화 요일 이므로, 9월과 12월에 13일의 금요일이 존재한다. 놀랍게도 내년 9월 13일은 추석이다 ㅎㅎ

결론

• 400년 주기의 그레고리력은 특정한 날짜가 특정한 요일에 치우쳐져있지 않고 고르게 분포한다.

• 단순한 미신일 뿐 따져보면 별 거 없다. 실제로 그 어떤 날짜를 매스매티카 코드에 넣어보아도 (y,m,13 부분에서 13을 1부터 30까지 변화시켜보면) 684~688 사이의 값을 가지는 고른 균등분포가 나온다. (2월 29일 제외)

출처/인용

• Burton's Number Theory 6장

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P.S 너무 어려운 주제 말고 스티미언들이 공감할 만한 수학주제를 추천해주시면 감사하겠습니다. 최대한 쉽고 재밌게 포스팅 해보겠습니다.