[수학으로 바람 이해하기 part3] 유체를 지배하는 방정식을 알아보자

in #kr4 years ago

안녕하세요. @hkkim1030입니다.

[오기 전에 알아두자] 태풍 '노루' 경로 분석하기에서,
@hunhani님으로부터 태풍 경로에 영향을 미치는 인자인
'제트류', '해수면 온도 경도', '몬순 기압골'에 대한 포스팅을 요청 받았습니다.

이것을 설명하기위해,
[아는 것이 힘이다-지구과학#4] 수학으로 바람 이해하기 part1

[아는 것이 힘이다-지구과학#5] 수학으로 바람 이해하기 part2
를 통해 몇 가지 기본적인 지식을 쌓아 보았습니다.

이번 포스팅에서는 위에서 배운 기초지식을 활용하여,
'바람'을 이해하기 위한 '방정식'을 설명해 보고자 합니다.


대기는 기본적으로 유체입니다.
따라서, 유체에 적용되는 방정식을 사용하여 대기 현상을 표현합니다.

유체에 적용되는 방정식은
크게 3가지 입니다.

하나. 연속 방정식 (continuity equation)
둘. 운동량 방정식 (momentum equation)
셋. 열역학 방정식 (thermodynamic equation)

이번 포스팅에서는
연속 방정식에 대한 설명을 해보겠습니다.

연속 방정식의 의미는
'질량 보존'입니다.

간단하게 들어온만큼 나간다 (눈에는 눈 이에는 이, 이정도 의미일까요?)입니다.

간단한 예를 들기위에서,
catesian coordinate로 질량 유입을 고려해보면,
아래 그림처럼 표현할 수 있습니다.


(IMAGE from http://pleasemakeanote.blogspot.kr/2009/02/derivation-of-continuity-equation-in.html)

여기에서 ux축 방향의 바람이고, 는 밀도,
는 변화량입니다.

x축 방향으로 유입되는 순수한 질량 (net mass)나간 것 - 들어온 것 이므로
입니다.

이를 y, z축으로 확장시키면,
,
로 표현할 수 있습니다.

이를 종합하면,

고정된 상태에 위치한 점 (Eulerian frame)에서 밀도 변화
이며,
unit volume로 환산하면,
가 됩니다.

전시간에 배운 del operator를 적용하면,
를 얻을 수 있고,
풀어내면
입니다.

완전 미분 (total differentiation)을 적용하면,
인데,
비압축성기체 (imcompressible fluid)를 가정하면 가 0이 되므로,

연속 방정식의 최종 형태
이 됩니다.

정말 간단해 졌습니다!! ㅎㅎ


오늘 포스팅은 이것으로 마치겠습니다.

다음 포스팅에서는 운동량 방정식에 대해 서술해 보고자 합니다.

어려운 내용이 있다면, 언제든지 질문해주세요!!

그럼 20000.

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비압축성기체는 어떤 상태의 기체를 말하는 건가요? 밀도가 변하지 않는다는건 옆에 식으로 알 수 있는데 와 닿지는 않는 개념이네요.

공업수학이나 미분방정식을 들은 대학생 이상이 아니라면 평생 볼 수 없는 문자들인 것 같은데 전문적인 단어나 수식을 사용하지 않고 쉬운버젼으로 일반인들을 위한 설명 글을 요청드려도 될까요?

실제 대기는 위치에 따라 밀도가 다릅니다.
예를들면 저기압, 고기압은 공기의 밀도가 다르기 때문에 나타나는 현상이죠.
하지만 대기는 고기압에서 저기압으로 바람을 불게하여 밀도를 같게 만들어 줍니다.
따라서, long-term관점에서 대기를 비압축성 기체라고 가정할 수 있습니다.

쉬운버전으로 풀이하는것은,
더 어려운 일이라.. 노력해보도록하겠습니다. ^^

긴글 읽어주셔셔 감사합니다.

답변 감사합니다.^^ Long-term관점에서 봐야하는 개념이군요.

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dρ/dt 와 ∂ρ/∂t 의 차이점에 대해서도 구체적으로 적어주셨으면 어떨까요 ㅎㅎ 사실 그게 핵심이기도 하니까요~ Lagrangian frame 및 Eulerian frame 정도가 아니라 각각이 가지는 물리적 의미를 쉽게 풀어서요!

포스팅을 하면서 정말 자세히 하고 싶은데,
PPT로 수식을 쓰다가 지쳐버려서.. 그부분은 설명하지 못했네요..
마크다운이 익숙하지 않아서 그런가봅니다. 시간이 되면 부연설명 추가하도록 해야겠네요 ㅎ

아 수학이네요 ㅎㅎ

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