4-3 엑셀 매트릭스의 행렬식(Determinant) 계산과 Adjoint Matrix

엑셀 명령 MINVERSE를 사용하여 매트릭스 A의 역행렬 즉 인버스 매트릭스를 편리하게 계산할 수 있었다. 매트릭스 인버스를 계산하는 원리와 행렬식(Determinant)에 대해서 알아보자.

2x2 매트릭스 C 와 C의 행렬식(Determinant)값을 고려해 보자.

다음의 3x3 매트릭스 A에 대해서 A의 인버스 매트릭스 계산 중간 과정에 수반하여 나타나는 3X3 Adjoint matrix of A를 구해 보자. 이 수학 내용은 대학 1학년 Calculus 과정에서 학습하는 내용이며 빼먹을 경우 평생 수알못이 되어 머신 러닝 공부과정에 효율이 크게 떨어지는 원인이 될 수도 있으므로 잘 알아두자.

3X3 매트릭스에서 하나의 요소 위치를 선정하면 그 요소를 수평 수직으로 관통하는 부분을 제외시킨 후 행렬식을 계산하여 위 그림의 왼쪽 하단의 매트릭스 부호를 참고하여 부호를 매긴다. 이 과정을 Cofactoring 이라 한다.
3x3 매트릭스에서 9개의 Cofactor 값들을 계산하여 매트릭스를 완성한 다음 Transpose를 취하면 최종적으로 Adjoint matrix of A 가 얻어진다. 아울러 위 그림에서 계산해 둔 9개의 2x2 행렬식(Daterminant) 정보와 부호 매트릭스 및 매트릭스 A 의 요소 값을 사용하여 3x3 A 매트릭스의 행렬식 값을 다음 공식에 의해 계산할 수 있다.

Determinant of A = 1(-2) + 3(+5) + 2(-1) = 11
= -1(5) + (+)0(-7 )+ 2(8) = 11
= 3(6) + 1(-4) + (-1)(3) = 11

이 행렬식은 매트릭스 A의 각 row 별 Cofactor색에 대해서 계산한 결과이며 반대로 column 별로도 계산이 가능하다.
Determinant of A = 1(-2) + -1(5) + 3(6) =11
= 3(+5) + 0(-7) + 1(-4) =11
= 2(-1) + 2(8) + (-1)(3) =11

매트릭스 A의 행렬식 값은 다음과 같이 엑셀 명령 MDERTM을 사용하여 쉽게 구할 수 있다. 행렬식은 매트릭스가 아니라 크기를 가지는 하나의 스칼라 값이다.

그 다음 Adjoint A와 매트릭스 A의 인버스 및 행렬식 A 와의 관계를 알아보자.

즉 매트릭스 A로부터 Adjoint 와 행렬식(Determinant)를 알아낼 수 있으면 인버스를 계산할 수 있다. 엑셀의 명령으로는 MINVERSE 와 MDETERM 이 있으나 Adjoint of matrix 는 따로 없는 듯하다. 이는 수계산 과정에서 수반되는 매트릭스로서 굳이 필요하면 인버스 매트릭스를 행렬식으로 곱하면 쉽게 얻을 수 있다.