[과학] 에너지 모멘텀 텐서

@hkkim1030 님의 글 [오기전에 알아두자] 태풍 이해하기 #3 을 읽다가 shear 의 세기가 태풍의 생성 요소 중 하나라는 것을 배웠습니다.

유체역학, 재료역학 이나 물리, 기계공학 등을 공부하다 보면 shear 를 포함하는 좀 더 큰 개념인 Energy-Momentum tensor [Stress-energy tensor] 가 등장하는데요 마침 예전에 만든 발표 자료가 있어 공유해 볼까 합니다.

먼저 이 에너지 모멘텀 텐서의 여러가지 정의 중 한 형태를 다룬 슬라이드 입니다.

물리학 전반에서는 4차원 시공간을 다루기에 alpha beta (0,1,2,3) 를 통해 기술을 하고 공학에서는 i,j 인덱스를 통해 (1,2,3) 공간 부분들을 주로 사용하곤 합니다.

먼저 알아보고 싶은 것은 에너지 모멘텀 텐서의 대칭성에 대해서 입니다.

일단 i0 와 0i 의 대칭성에 대해서 알아 보도록 하죠. 에너지 질량 등가 원리에 따라 0i 성분과 i0 성분의 의미가 같다는 것을 알 수 있습니다. 좀 자세히 풀어 설명해 보면 아래와 같습니다.

ij 성분의 대칭성 즉 공간부분의 대칭성은 토크 계산을 통해 보일 수 있는데요. 이를 위해서는 약간의 일반물리 지식이 필요합니다.

먼저 한변의 길이가 l 인 작은 정육면체 상자 하나를 생각해 봅시다. T^{00} 성분은 에너지 밀도 즉 질량 밀도이기에 부피를 곱해주면 질량을 구할 수 있죠. 즉 이 박스의 질량과 관성모멘텀은
와 로 적힌 다는 것을 알 수 있습니다.

이제 각 방향에 해당되는 토크를 구하고 그것으로 부터 각 가속도를 구해 보도록 하죠

자 이걸로 각 가속도를 구할 수 있게 됬습니다.


T^{00}, T^{xy}, T^{yx} 이 값은 길이 l 값과 상관없는 값입니다. 즉 l 이 매우 작은 값이 되면 상자가 무한히 회전을 하게 됩니다. 이런 일은 일어나지 않으니 T^{xy} 값이 T^{yx} 값과 같은 값을 가져야 됩니다.

고전역학적 접근을 설명한 슬라이드입니다.

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앞 선 정의들은 에너지 모멘텀의 성분들의 물리적 의미를 정의하고 거기서 대칭성을 찾는 방법을 다루었는데요. 일반적으로 고전장론[상대론] 책에서는 Lagrangian 과 장(Field) 를 도입하여 아예 symmetric 하게 정의를 하곤 합니다.

물론 양자장론(QFT) 나등각장론(CFT) 에서는 꼭 대칭성이 필요하지 않기에 다른식으로 정의하기도 합니다.

여기서의 eta 는 flat metric 이고, Phi 는 field 를 의미합니다. symmetric 하진 않아도 conservation law 는 만족하지요. 각각의 나름 유용성이 있습니다. 이런 경우에 Belinfante term B^{\rho \mu \nu} 를 도입하여 symmetric 한 에너지 모멘텀 텐서를 정의 할 수 있습니다.

C 가 붙은 항은 canonical energy momentum tensor 라고 불리며 바로 앞에 정의한 식이고, B 는 Belinfante energy momentum tensor 라고 불리며 이게 흔히 앞에서 다루었던 energy-momentum tensor 입니다. 장론에서의 보존량 ward identity 때문에 이런 정의들과 일들을 할 수 있습니다.

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application 도 하나 있으면 좋겠어서 만들었던 perfect fluid 에 관한 슬라이드로 마무리 합니다.

참고문헌, MTW chapter 5, Schutz chapter 4, Francesco et al (CFT) chapter 2, 위키피디아, Cauchy stress tensor