퀴즈 589 색칠된 정육면체

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내 기억에 초등학교 때인가 이런 문제들을 참 많이 풀었던 것 같다.

작은 정육면체 블록들을 모아서 커다란 정육면체를 만들었다.

그리고 완성된 커다란 정육면체의 겉면을 모두 노란색으로 색칠했다.

색칠 후 이 정육면체들을 분리하여 낱개로 만들었더니 아무 면도 색칠되지 않은 정육면체는 64개가 나왔다.

이 때 색칠된 면이 2개가 있는 정육면체 블록은 몇개인가?

풀이

어떠한 면도 색칠되지 않는 정육면체는 64개이다. 이 말은 즉 내부에 있는 정육면체의 갯수가 64=4x4x4 란 말이 된다.

내부에 있는 정육면체는 전체의 [정육면체 변 - 2(꼭지점)]^3 이니 (이는 그림, 이미지화 하면 쉽게 생각할 수 있다.)

한변을 이루는 정육면체는 6이 되고 전체 정육면체는 6x6x6 = 216 개가 된다.

두 면만 색칠된 경우는 가장자리에서 꼭지점들을 뺀 것들이 될것이다. 즉 한 변에 6-2 = 4 개가 될 것이고 정육면체는 총 12개의 변으로 이루어져 있으니

총 12x4 = 48 개가 된다.

퀴즈 590 상자 속의 공

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상자 속에 p 개의 흰 공과 q 개의 검은 공이 들어 있고, 상자 옆에는 검은 공들이 많이 쌓여있다.

상자 속에서 임의로 2개의 공을 동시에 꺼낸다. 이 때 꺼낸 2개의 공이 같은 색이면 꺼낸 공은 버리고 상자 옆의 검은 공 하나를 상자 속에 넣는다.

꺼낸 2개의 공이 다른 색이면 그 중 흰공만 상자 속에 넣는다.

이러한 시행을 반복하여 마지막에 남아 있는 2개의 공을 꺼내고 1개의 공을 다시 상자 속에 넣을 때 까지 반복하자.

상자 속에 남아 있는 공이 흰공이 될 확률은?

풀이

홀작성과 관련이 있다. p 가 짝수이면 0, 홀수이면 1 이 된다.

매 시행마다 effective 하게 보면 흰공의 개수가 2개씩 줄거나 그대로이다.

즉 p 가 짝수일 때 상자 속에 남아있는 공은 흰공이 될 수가 없다. 거꾸로 p 가 홀수이면 상자 속에 남아있는 공은 반드시 흰색 공이 된다.

퀴즈 591 Magic of 123

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Magic of 583 을 응용해 보았다.

이번엔 Magic of 123 즉 1+2=3 백의 자리와 십의 자리 숫자를 합하면 일의 자리 숫자가 나오는 세자리 수들을 모두 세어보자

풀이

Magic of 583 과 정확히 똑같은 방법으로 풀면 된다.

즉 일의 자리가 1인 경우 101

2인경우...

즉 1+2+3+4+5+ ... 9 = 45개