퀴즈 486, 487, 488 풀이
퀴즈 486 거짓말쟁이3
거짓말 쟁이와 참말을 하는 사람들이 모여 저녁 식사를 하기로 했다.
이들은 원형의 테이블에 앉아 식사를 기다리고 있다.
모든 사람은 각각 자신의 양 옆에 앉은 사람들이 거짓말을 하고 있다고 한다.
테이블에 앉은 사람 중 한명이 "우리는 모두 11명이에요" 라고 말하자 테이블에 앉아 있던 다른 사람이 폭소를 하며
"저 사람은 거짓말 쟁이에요 우리는 10명죠" 이라고 말했다.
이 테이블에 앉은 사람은 몇명이고 거짓말쟁이, 참말을 하는 사람은 몇명인가?
풀이
모든 사람은 각각 양 옆에 앉은 사람들이 거짓말을 하고 있다고 한다. 이 말은 한 사람이 앉아있으면 그 사람의 양 옆에는 모두 자신과 반대대는 사람이 있어야 한다.
즉 참말과 거짓말쟁이가 번갈아 앉아 있다는 것이고 이는 참말과 거짓말쟁이를 한 세트로 볼 수 있다는 말이 된다. 즉 원형 테이블에 앉은 사람은 짝수가 된다.
11명이라고 말 한 사람은 거짓말을 한 셈이 된다. 그러니 테이블에 앉아 있는 다른 사람이 한 말이 참이 된다.
즉 테이블에 앉아 있는 사람은 10명이고 그 들중 참말은 5명 거짓말쟁이는 5명이 된다.
퀴즈 487 성냥개비 6개
성냥개비 6개를 가지고 각각의 성냥개비가 나머지 5개와 만나게끔 배열하여라.
풀이
퀴즈 488 특별한 수
어떤 수에 1을 더하면 제곱수가 되고 또 그 수의 절반에 1을 더하면 제곱수가 된다.
이러한 숫자 중 가장 작은 수는 무엇이고 그 다음 작은수, 그 다음다음 작은 수는?
풀이
답은 48, 1680, 57120 이다.
이 문제는 가볍게 코드를 짜서 풀 수도 있고, 48 정도는 trial and error 를 통해 쉽게 찾아볼 수 있다.
제곱수의 성질중 하나를 생각해보자. 어떤 완전제곱수가 홀수라면 그 제곱수는 8m+1 로 적을 수 있다. 이는 x=2k+1 이라 생각하고 x^2 = 4k(k+1) + 1 이니 k 가 홀수이면 k+1 이 짝수이니 8의 배수 +1 k 가 짝수이면 4k 가 8 의 배수이니 8의 배수 +1 형태로 적히는 것으로부터 쉽게 얻어낼 수 있다.
이것으로 부터 x 가 16의 배수라는 것을 알 수 있고 몇번의 trail and error 를 해보면 48 은 일단 쉽게 구할 수 있다.
[
즉 x 는 8의 배수라는 것 하나를 알 수 있고 또 하나로는 b^2 도 역시 홀수라는 것을 알 수 있다. 즉 이 말로 x 는 16의 배수라는 것을 알 수 있다.
]
x 의 일반적인 것은 어떻게 풀 수 있을까? 먼저 저 식의 a 와 b 를 잘 정리하면
이고 이런 방정식의 정수해 a,b 를 구하는 방법은 사실 정수론에서 꽤나 유명한 문제이다. 이런식의 제곱꼴의 정수로 구성된 정수해의 방정식을 디오판토스의 방정식이라고 하고, 그 중에 특별한 형태인 이 문제를 Pell's equation 이라고 한다. 위키피디아 Pell's equation
이 방정식의 해를 구하는 방식을 이용하면 48, 1680, 57120를 얻을 수 있는데... 정수론적 지식을 조금 더 많이 설명해야 되서 일단은 여기까지 작성해 본다. Pell's equation 과 디오판토스 방정식에 대한 이야기를 나중에 한번 공부해서 올려봐야겠다.