퀴즈 220 4개의 7

4개의 7을 가지고 100을 만들어라

7/0.7=10 이다 [일종의 넌센스 문제이다! ]

이를 이용하면

7/0.7 x 7/0.7=100

퀴즈 221 정사각형과 나무

626cm x 626cm 의 정사각형에 두 나무 사이의 간격이 최소 108 cm 가 되도록 하면서 최대 몇 그루를 심을 수 있을까?

가장 쉬운 guess 는 626/108=5.7 임을 이용해 5.7^2=32 흠 이보다 더 채울 수 없을까?

대각선을 생각해보자. 정사각형이기에 대각선은 626*sqrt 2 이고 이를 108 로 나누면 8이 조금 넘는다.

즉 대각선을 기준으로 가장 긴 대각선을 쪼개면 8칸 즉 9개의 점이 나온다. 이를 대칭으로 평행하게 직선을 그려 쪼개고 각 점에 나무를 심으면 된다.

1+3+5+7+9+7+5+3+1 = 41

그림으로 기술하면

221번은 특정 상황[평면의 일부분]에서의 분할 문제라고 한다면 224번은 이 문제의 일반화된 경우이다.

다만 221번에서는 분할의 조건[어느 정도의 거리, 분할대상의 domain 이 정해져 있다는 것] 이 있는 반면에 224 번은 조건이 많이 완화된 편이다.

퀴즈 224 피자 분할 1

피자 한판을 6개의 직선으로 나눌 때, 최대 몇 조각이 나오겠는가? 단 크기와 모양은 달라도 된다.

먼저 답부터 쓰면 22조각, 일반적으로 n 번 잘랐을 때, 최대 n(n+1)/2 +1 개로 나눌 수 있다.

[why?

사실 이 문제는 평면을 직선으로 나눌 때 생기는 최대 조각을 묻는 문제로, 중 고교 교과과정 중에 등장하는 문제이다. [평면 분할 문제이다]]

크게 수업시간 혹은 참고서 등에 두가지 방법을 통해 이 문제가 설명된다. [수열의 점화식과 조합]

[학창시절 이 문제와 정사면체의 성질 몇개를 증명했다, 밝혔다고 좋아했던 적이 있었는데.. 알고보니 이미 수백년, 수천년전 누군가가 풀었고, 오히려 교과서에 나와있는 문제였다는 걸 알고 크게 실망했던 적이 있다. ㅠㅠ]

일단 직관적으로

n 개 직선으로 분할된 영역의 갯수는 n 개의 평행한 직선으로 분할된 영역의 수 + 교점의 수

n 개의 평행한 직선으로 분할된 영역은 n+1 이 될 것이다. [ 한 평면을 하나의 직선으로 나누면 2개가 2개의 평행한 직선으로 나누면 3개로 나누어질 것이다. 이를 nC0+ nC1 으로 생각할 수 있다. ]

교점은 두 직선이 만나 생기는 것, 즉 교점이 생길 경우는 n choose 2 즉 nC2

이 두개를 합하면 nC0+nC1+nC2= n(n+1)/2 +1 을 얻을 수 있다.

이 문제를 쉽게 평면이 아닌 공간으로 확장하면 어떻게 될까?

평면을 직선으로 분할했으니 공간의 경우 평면으로 나누어야 할 것이다.

사실 답은 아주 간단하다. 이 경우 일반항은

nC0+nC1+nC2+nC3 이 된다. 이 역시 계차수열과[이 때의 계차 수열은 평면 분할의 일반항이 나온다!] 조합으로 구할 수 있다