[수학, 과학(?), 계산] 1+2+3+ ... = -1/12 와 Regulator

@kangji 님의 글

[Reivew #2 책+영화] 어느 수학자의 변명 + 무한대를 본 남자 ,부제 : 모든 자연수의 합은 -1/12??

을 보고 가만히 있을 제가 아니죠 ㅎㅎ

analytic continuation 은 너무 전문적인 방법인데, ㅎㅎ 이것도 기회가 되면 설명하기로 하고, 수열을 이용한 풀이와 거의 같은 "직관적인 풀이"를 설명하려고 합니다. 특별히 알아야 되는 사전 지식도 많지 않습니다. 등비 급수와 함수의 미분법만 알고 있으면 충분합니다.

이 방법은 지극히 물리적인 방법으로 양자장론 계산 중 Renormalization에 등장하는 regularization 로 얻는 방법입니다. 일반적으로 Regulator 를 도입하여 거기에 맞는 발산항을 상쇄하여 finite 한 값을 얻어내는 방법입니다. @kangji 님이 말한 무한대에서 무한대를 빼는 작업을 물리학자들이 결국 하고 맙니다.... 이를 위해서는 무한대를 잘 정의해야 하죠...

일단 본제로 돌아와서 구하고자 하는 식 형태는

이를 풀어보면

여기에 작은 변수를 도입해보면

이것을 다시 묶어 정리해보면

이제 문제는 이것을 어떻게 계산하는 가 인데, 이를 위해서는 미적분학의 스킬이 조금 필요하죠

미분이 가해지는 항을 살펴보면

등비 수열의 합이라는 것을 알 수 있죠. 분모 분자를 taylor 전개를 통해 정리해보면

등비 급수의 합 식을 이용해서 [아래 식]

항을 전개하면

자 이제 -1/12 값이 나오는 것이 보이나요? regulator 를 사용했기에 발산하는 항은 1/epsilon^2 항은 무시가 되고 [UV cutoff 를 도입함으로써 상쇄 시킵니다] 처음 얻고자 했던

식이 나오게 되죠.

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"무한대에서 무한대를 뺐더니 유한한 값이 나온다" 이게 재규격화의 묘미이죠. 수학적으로 재규격화를 설명하려면 많은 부연 이론들이 필요해요. 무한대 끼리도 크기를 비교할 수 있다는 것을 아시나요? 같은 order 의 무한대어야 차 값이 finite 한 값이 나오는 것이죠. [이를 설명하려면 칸토어의 이론 등... 설명해야 할 것이 너무 많군요 ㅎㅎ]

물리에서는 양자장론 계산을 하다보면 이런 divergence 문제가 나오고, 위 처럼 cutoff 를 도입하거나, 't hooft 의 dimensional regularization 을 많이 씁니다.

"물리 계산 과정에서 등장하는 발산항을 어떻게 하면 서로 상쇄하여 finite 한 값을 가질 수 있을까" 에 대해서 많은 물리학자들이 고민을 했고 이런 재규격화 방법들이 나오게 되었죠. 참고로 우리에게 좀 친숙한 이휘소 박사님은 't hooft 의 dimensional regularization 을 좀 더 쉽게 설명하는 논문을 쓴 적이 있다고 하네요. 당시 't hooft 의 논문은 그 당시 저명한 학자들 조차 이해하기 힘들었다고 하네요, 그래서 이휘소 박사님께서 그 논문을 좀 쉽게 풀어 논문을 썼었다고 하는군요.

이휘소 박사님에 대해서 조금 더 자세히 알고 싶으시다면 한국인 입자물리학자 이휘소 박사 김진의 교수님께서 한국물리학회지에 기고하신 글입니다. 또
이휘소 박사의 발자취 김제완 교수님께서 한국물리학회지에 기고하신 글입니다.

원 식을 유도하는 방법은 상당히 여러가지가 있지요 위키피디아 링크를 첨부합니다. 다양한 방법을 소개하고 있죠. 여기서 제가 소개한 방법은 cutoff 를 이용한 방법이고 일반적인 물리 교과서에 소개되 있는 방법입니다.

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사실 제가 관심이 많은 함수는 이 zeta 함수의 확장형인 Hurwitz Zeta Function 입니다. [아마 얘는 포스팅은 따로 하지 못할
것 같습니다. 여러 계산을 해보고 있는데 알아야 할 것들이 너무 많아요ㅠㅠ] ㅎㅎ 아무튼 세상에는 참 재밌는 것들이 많은것 같네요.