たまには物書きらしく調べものでも #3 世界で最も美しくない旋律/ゴロム定規

ゴロム定規（ゴロムじょうぎ、英: Golomb ruler）とは、想像上の定規の上で一連の整数位置にマークを配置し、任意のマークの対の距離がどれをとっても等しくならないものをいう。

音楽。音楽は昔から数学だと言われていました。
ドレミの音階はほぼ一定の周波数の比率を保っているとよく聞きます（ですよね？）。そして心地よいと感じる一定の旋律は殆どが、数学的にも（何となく意味ありげな）美しく感じられる数字であるのです。

逆に言えば、美しくない旋律は無作為で、なおかつランダムです。

では、ここにゴロム定規を使った旋律を作ってみればどうなるでしょう。

旋律は、音と音が等間隔で離れて響き合い、なおかつある調和されたリズムを保っているからこそ、合成音がきれいに聞こえるのです。
ゴロム定規を使えば、どの音をとっても等距離ではありません。
だから、美しく聞こえない旋律は数学的に解くことができます。

コスタス配列というものがあります。
これはゴロム定規を拡張した配列で、これを使えば、横軸に音階、縦軸にリズム、という感じで「数学的に全く不規則な」音楽を解くことができます。

これは、TEDの映像です。世界で最も美しくない旋律について解説してあります。
演奏部分は7：40頃から始まるので、是非とも聞いてみてください。散らばっている音にしか聞こえないはずです。
これは旋律というよりは、散逸されただけのまとまりのない音です。
私はこれを聞いたとき、天才的だと思いました。何故ならば全く何も音楽性を見いだせなかったからです！

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皆さんも、音楽といえば黄金比だとか、ピタゴラス音律だとか、そういうことはご存知かもしれません。

ピッチクラス・セット理論（音楽的集合論）というものが存在しますが、これはグラフ理論や組合せ数学に非常に近い学問で、音楽の構造を音階の集合（ドレミの集合）として解析します。音楽って言っても、全部が全部無調の音楽じゃなくて、中には移調や転調もあるからそこは分けないと……と思われる方もいらっしゃると思いますが、ご安心ください。
移調や転調をしても、音階の間隔は保存されるので線形操作＝写像（等長写像）で表現できるのです。

他にも、平均律のオクターヴにおける音符は12個からなり、アーベル群を形成しています。

音楽は群Z/12Zに対する束として考えることが可能である。

とWikipediaに書かれてますが、要するに半音など考えても音符の種類は12個を巡回しているよ、という意味です。
アーベル群という言葉は、平たく言えば「12音を組み合わせたらたくさんのパターンが作れるよ！」と考えてもらって結構です。有限アーベル群の中から、周波数の比率が整数である美しい音律のパターンを抜き出せば、何となく美しい旋律の法則が見えてくる、という感じで認識してもらって大丈夫です。

音楽的美しさは、数学である程度解明することができるようです。
逆に、最も美しくない旋律まで数学的に解くことができるようです。

でも、ここまで来てしまうと、私は時々、自分の感覚は数学的に正しいのだろうか？　と思ってしまうことがあります。
数学が正しいのか、自分が正しいのか、ですね。卵が先か鶏が先か、みたいな議論ですが、ちょっと考えさせられてしまう議論です。