Una leva di probabilità (I)
Il 19 ottobre del 1987, passato alla storia come "black monday", i contratti futures sull'indice S&P 500 subirono un pesante crollo (-20%), così pesante che la probabilità che si verificasse era pari a , così inconcepibilmente bassa che un evento del genere non avrebbe nessuna speranza reale di verificarsi se la borsa rimanesse aperta per venti miliardi di anni, 24h al giorno.
![600px-Black_Monday_Dow_Jones.svg.png](https://steemitimages.com/640x0/https://cdn.steemitimages.com/DQmc1Hv49MygVPN6Mjh1rJSNG3SL14JaVxZXNNSntXLzPNf/600px-Black_Monday_Dow_Jones.svg.png)
Il crollo del mercato del 1987
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La "legge di Borel" afferma che eventi così improbabili non dovrebbero mai verificarsi. Eppure è successo, e non è certo l'unico grande crollo in ambito finanziario a cui abbiamo assistito. Dunque, cosa c'è che non va? Forse la probabilità che eventi del genere si verifichino non è così bassa? Ni. In realtà lo sarebbe, se gli eventi in questione [in questo caso le ampiezze delle fluttuazioni della quotazione di borsa] seguissero una distribuzione normale di probabilità. Cos'è la distribuzione normale? Fondamentalmente è una funzione matematica che ci dà la probabilità di ottenere un certo valore quando facciamo una misurazione o un'osservazione.
Poichè un evento così improbabile si è verificato, dobbiamo considerare molto seriamente il fatto che le leggi matematiche di probabilità che lo governano (l'evento "fluttuazione del titolo in borsa") non seguano una distribuzione normale (DN).
![](https://steemitimages.com/640x0/https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/59/Wall_Street_Sign.jpg)
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In effetti non lo fanno, ma si possono fare alcune approssimazioni nel trattamento dei dati, in modo che questi possano essere descritti da tale distribuzione. Questo è utile, perchè la DN ha proprietà matematiche importanti, che ne rendono semplice, ma efficace, il suo utilizzo. Ma a volte così facendo possono prodursi grandi errori.
L'approssimazione è la chiave di tutto, perchè cancella le piccole differenze presenti nei dati prima che vengano elaborati. Piccole differenze iniziali possono portare ad enormi cambiamenti mano a mano che il nostro "sistema" si evolve nel tempo. Una sorta di effetto farfalla, probabilistico, una leva di probabilità: piccole modifiche delle condizioni possono portare a grandi cambiamenti nelle probabilità che descrivono un evento.
Per capire meglio la distribuzione normale, immaginiamo di avere un set di dati, ad esempio i punteggi di un test (con punteggio che varia da 0 a 20).
Supponiamo che il punteggio medio sia 10. Attenzione! Il fatto che 10 sia a metà tra 0 e 20 non ha nulla a che vedere col fatto che sia il punteggio medio. Potremmo considerare anche 15, 16, 8, e non cambierebbe nulla.
La forma della distribuzione normale è una campana, descritta da una formula matematica che comprende due grandezze fondamentali: valore medio e deviazione standard (anche indicata con la lettera sigma σ). Il picco dell DN è centrato sul valore medio, mentre la deviazione standard ci permette di calcolare la probabilità di ottenere un certo valore dal processo di misura/osservazione. Sempre considerando l'esempio del test, supponiamo che la deviazione standard sia 1. Otteniamo una curva di questo tipo:
![Standard_deviation modificato.svg.png](https://steemitimages.com/640x0/https://cdn.steemitimages.com/DQmYs3kZW63dca4tX4kRiEy51FJyBGbV6RjMcRqMawKjjDb/Standard_deviation%20modificato.svg.png)
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Ora chiediamoci: qual è la probabilità che il punteggio di un test cada al di più a una deviazione standard di distanza dal valore medio? Ovvero, qual è la probabilità che un punteggio sia compreso tra 9 e 11? La DN ci permette di calcolare questa probabilità. Naturalmente è possibile spingersi più in là di una deviazione standard...due, tre, quattro. Mano a mano che ci si allontana dal valore medio la DN si abbassa verso l'asse delle ascisse, e l'area sottostante la curva diminuisce. In effetti è proprio l'area sottesa alla curva che ci fornisce il valore di probabilità. L'area totale sottesa vale 1. Sempre a titolo di esempio, supponiamo che l'area sottesa alla curva tra i valori 9 e 11 valga 0.68. Allora la probabilità che il risultato di un test abbia un punteggio compreso tra 9 e 11 è di 0.68, ovvero il 68%.
In verità, in verità vi dico, questo è vero sempre: l'area compresa tra -1σ +1σ dalla media vale circa 0.68. Tra -2σ e +2σ vale 0.95. Tra -3σ e +3σ vale 0.99...Più ci si allontana dalla media più e improbabile trovare, nelle misure/osservazioni, un valore che cada all'esterno dell'intervallo considerato. Dopo 4 deviazioni standard è molto difficile trovare un valore, e infatti l'area sottesa (all'esterno di +/- 4σ) è minuscola.
Questo significa anche che possiamo calcolare il numero di eventi attesi di un fenomeno descritto da una DN, semplicemente moltiplicando il numero N di eventi totali per la probabilità associata ad essi.
Ad esempio, su 100 test, circa 68 avranno un punteggio compreso tra 9 e 11, e ben 95 test un punteggio compreso tra 8 e 12.
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![CodeCogsEqn (3).gif](https://steemitimages.com/0x0/https://cdn.steemitimages.com/DQmcXEtEyQKrBLeqiN7AF67HzrK7Ak2CR7oPiYCYjDNtBY1/CodeCogsEqn%20(3).gif)
Mettiamo queste nozioni in testa e torniamo al crollo del 1987.
Il 19 ottobre è il "lunedì nero" della borsa americana. L'indice Dow Jones perse il 22.6%. Entro la fine del mese subirono lo stesso crollo diverse borse in tutto il mondo: -23% Stati Uniti, -26% Gran Bretagna, -42% Australia.
10 anni dopo crollò il fondo d'investimento Long Term Capital Management (-40% del capitale in un mese). La probabilità che succedesse era pari a quella di un evento 10-sigma.
E dopo la caduta in borsa iniziata nel 2007, il direttore di Goldman Sachs diede la colpa a una serie di eventi 25-sigma verificatesi nei mesi precedenti.
Cosa significa "evento 25-sigma"? Quanto è improbabile? Chissà. Ve lo dico nel prossimo post.
Vedremo che eventi apparentemente impossibili possono verificarsi e non apparire strani, se guardati dalla giusta prospettiva.
Fonti:
- David J. Hand - Il caso non esiste
- https://it.investing.com/indices/us-30-chart
- https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1103/1103.5672.pdf
- https://www3.nd.edu/~rwilliam/stats1/x21.pdf
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David J. Hand - Il caso non esiste
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E ma non vale... 😟
Almeno scrivilo in fretta il prossimo post 😁
Un saluto, nicola
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Grazie vecchio mio
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