Le molle sono oggetti assolutamente fantastici, il cui uso è certamente fondamentale per la società in cui viviamo. Basti pensare ai mezzi di trasporto, oppure alle slinky:

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Descrivere l’oscillazione di un oggetto attaccato a una molla è semplice da un punto di vista matematico. La forza elastica è data semplicemente da , dove k è la costante elastica della molla e X è l’allungamento rispetto alla sua posizione di riposo, mentre il segno meno sta a significare che la forza è diretta in verso opposto allo spostamento. Poiché la forza a cui è soggetto un corpo è data dalla massa per la sua accelerazione, possiamo eguagliare le due espressioni, ottenendo:
Sistemando i termini dell'equazione e dividendo per la massa si ottiene:
dove è la pulsazione, una grandezza proporzionale alla frequenza, cioè al tempo di oscillazione

Stiamo descrivendo un sistema come questo:

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Il tempo impiegato dal corpo appeso per compiere un’oscillazione completa (avanti e indietro) è dato da:

Ora il problema è trovare una funzione che descriva la posizione e l’accelerazione del corpo appeso in funzione del tempo, in modo che rispetti l’equazione scritta sopra. In questo caso non è molto difficile, la funzione è data semplicemente da

Nelle equazioni scritte fino ad ora manca un termine fondamentale, che compare sempre quando si affrontano dei problemi reali: l’attrito. Non c’è un termine dissipativo, e senza di esso la nostra molla continuerebbe ad oscillare all’infinito. Un corpo che si muove in un fluido sente una forza d’attrito che è proporzionale alla sua velocità, diciamo che
Dove B è una costante che dipende dal tipo di fluido, e sarà quel che sarà. Ovviamente in acqua sarà più grande che in aria.
In questo caso dobbiamo modificare l’equazione di partenza, che diventa:

Ora cercare la funzione che descrive la dinamica del corpo (posizione, velocità e accelerazione), nel tempo è più complicato, ma non eccessivamente. Ci aspettiamo che l’ampiezza dell’oscillazione diminuisca sempre di più nel tempo, a causa dell’attrito. Non esiste una sola soluzione, ma ben tre, ognuna delle quali si adatta bene alle differenti condizioni fisiche del sistema.
Se l'ampiezza del moto è smorzata molto rapidamente:

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Se

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Se invece abbiamo una soluzione oscillante, la cui ampiezza diminuisce nel tempo:

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Ora dobbiamo generalizzare ulteriormente. Non abbiamo infatti considerato il caso in cui sia presente una forza esterna che fa oscillare il sistema, compensando la perdita di energia dovuta all’attrito. Prendiamo una forza esterna ovviamente anch’essa oscillante. Tutte le forze in gioco, sommate, devono essere uguali ad essa, dunque:

E l’equazione del moto diventa:

Questa è la descrizione generale di un moto armonico. Vediamo ora come lo stesso modello matematico può essere esteso anche a sistemi fisici differenti, che poco hanno a che vedere con le molle.

Circuiti

Consideriamo un circuito classico, composto da una resistenza, un condensatore e una induttanza.

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Quando dentro di essi scorre una corrente, si genera ai loro capi una differenza di potenziale V, e precisamente:

• per la resistenza: dove R è il valore della resistenza, e I è la corrente che scorre nel circuito (la corrente è uno spostamento di cariche. Quando più varia velocemente la carica nel tempo tanto più è intensa la corrente). Le resistenze si scaldano, e fanno perdere energia al sistema.
• per il condensatore: dove Q è la carica sulle facce del condensatore, e C è la sua capacità
• per l’induttanza: dove L è il valore dell’induttanza e è la variazione dell’intensità di corrente nel tempo, ovvero, attenti, la variazione della variazione della carica nel tempo

Per le leggi di Kirchoff, la somma delle differenze di potenziale deve essere 0, dunque

Ora è interessante notare l’analogia con l’equazione della molla:

• Abbiamo la velocità da una parte, ovvero la variazione di spazio nel tempo, e la corrente, cioè la variazione di carica nel tempo, entrambe che compaiono a moltiplicare il termine dissipativo.
• Abbiamo una accelerazione da una parte, ovvero il cambiamento della velocità nel tempo, quindi la variazione nel tempo della variazione nel tempo dello spazio. E abbiamo un termine analogo che moltiplica l’induttanza L.
• Per ultimo, compaiono rispettivamente posizione e carica, ovvero le due grandezze da cui dipendono quelle appena descritte. Questo suggerisce che i due sistemi, pur essendo molto diversi, possono essere descritti dallo stesso modello matematico. Aggiungere un voltaggio oscillante ha lo stesso senso dell’aggiunta di una forza esterna nel caso della molla, e facendo conti analoghi ai precedenti si conclude che l’equazione che descrive l’andamento della correte nel tempo è:
  

Ma la forza di questo modello fisico-matematico non finisce qui.

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La luce e la materia

È possibile descrivere classicamente il comportamento di un atomo quando su di esso incide una radiazione elettromagnetica. Notare che il campo elettrico è oscillante, con un'oscillazione del tipo

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Per farlo, è utile usare un modello di atomo molto semplice, e considerare l’attrazione elettrostatica tra nucleo ed elettroni come l’analoga della forza elastica della molla.

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Quando un onda elettromagnetica incide su un materiale, il suo campo elettrico genera una forzante esterna che mette in un moto oscillante gli elettroni del materiale. Interagendo con il materiale che lo circonda, ed emettendo radiazione a sua volta, l’elettrone tenderà a perdere l’energia fornita dalla forzante. Dunque, abbiamo una forzante, un termine dissipativo e una forza elettrostatica analoga a quella elastica. I conti li abbiamo già fatti, e il moto dell’elettrone è descritto da:

dove compaiono:

• la carica dell'elettrone
• la massa dell'elettrone
• è la frequenza di vibrazione naturale degli elettroni, e dipende dal tipo di materiale.

Da questa equazione è possibile determinare le proprietà dell’elettrone in movimento oscillante nei materiali. In particolare è utile per i materiali conduttori, o in generale quando gli elettroni sono sufficientemente liberi di muoversi (nel plasma ad esempio).
Per questi materiali è possibile definire una frequenza, detta frequenza di taglio:

dove N è il numero di elettroni per metro cubo nel materiale, e è la costante dielettrica del vuoto.

Qual è il senso di questa frequenza? Abbiamo detto che se un’onda elettromagnetica incide su un materiale, mette in moto oscillatorio gli elettroni. Tuttavia, non è sempre detto che questi riescano a “stare al passo” con le variazioni del campo elettromagnetico incidente. Se la frequenza dell’onda incidente è inferiore alla frequenza di taglio, gli elettroni si spostano secondo i dettami dell’onda, creando un campo elettrico che bilancia quello dell’onda. Se invece la frequenza è maggiore della frequenza di taglio, gli elettroni non riescono a seguire il campo elettrico incidente, che non viene bilanciato. Risultato: nel primo caso l’onda non si propaga, nel secondo si.
L’atmosfera, ad esempio, è trasparente alla luce visibile, ma non a tutte le onde radio. Alcune frequenze non possono raggiungere lo spazio, e vengono riflesse verso la superficie. È il motivo per cui Marconi riuscì a comunicare dall’Europa all’America, nonostante la curvatura terrestre.

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Non tutte le onde elettromagnetiche vengono riflesse, quindi per alcuni tipi di comunicazioni è necessario l'uso dei satelliti artificiali.
La radiazione solare influisce sulla grado di ionizzazione dell'atmosfera, che si traduce in un cambiamento di N. Di conseguenza cambia anche la riflettività a seconda che sia giorno o notte. Motivo per cui, se provate ad ascoltare la radio sulla onde AM, le frequenze ricevibili di giorno non sono necessariamente le stesse di quelle ricevibili di notte. Di notte dall'Italia capita di riuscire a sentire le radio arabe, di giorno no.

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Anche l'effetto serra può essere giustificato così. L’energia del Sole raggiunge la Terra sottoforma di luce visibile e di raggi infrarossi. La Terra riemette questa energia con onde radio di frequenza inferiore, per le quali l’atmosfera è prevalentemente opaca. Sfiga vuole che le poche frequenze per le quali l’atmosfera è trasparente sono le stesse frequenze che vengono assorbite dall’anidride carbonica. L’immissione in atmosfera di C02 rende ancora più opaca l’atmosfera, l’energia non può ritornare nello spazio e la temperatura del pianeta sale.

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Ancora, questo modello permette di giustificare il funzionamento dei polaroidi, strumenti che modificano le caratteristiche della luce.
Consideriamo più elettroni nell’atomo. Non è detto che questi possano oscillare in modo uguale in tutte le direzioni. Esistono materiali in cui c’è un asse ottico, una direzione privilegiata, per la quale la luce passa senza problemi, mentre viene bloccata in altre direzioni. Gli elettroni hanno “molle” diverse, a seconda della direzione che consideriamo.

Questo significa che solo la luce con un campo elettrico correttamente orientato può passare, e si ha un fenomeno di polarizzazione, che si traduce in una riduzione di intensità della luce. La luce del giorno non è polarizzata, e il suo campo elettrico oscilla caoticamente in tutte le direzioni.

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1. sorgente di luce
2. luce non polarizzata
3. filtro polarizzatore
4. luce polarizzata

Gli occhiali polaroid usano proprio questo principio per bloccare le radiazioni dannose per gli occhi.

Nonostante il modello atomico “con le molle” sia assolutamente semplice, permette di giustificare una vasta gamma di fenomeni. Non tutti ovviamente. Se si vuole una descrizione veramente accurata bisogna usare la meccanica quantistica, che parte da principi e presupposti diversi. Però è interessante notare come dallo studio di una semplice molla si possa giungere a una descrizione assolutamente… dignitosa di tanti fenomeni fisici che ci circondano.

Fonti

• Helmore, Heald - Physics of Waves
• Mazzoldi, Nigro, Voci - Fisica II
• Lorentz Oscillator
• https://radiojove.gsfc.nasa.gov/class/lesson_plans/lesson2.pdf

_{Immagine CC0 Creative Commons, si ringrazia @mrazura per il logo ITASTEM.
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