[금융선형대수] 기말 시험 전 정리(1)



※ 시험 전 정리용으로 작성자 외에는 알아보기 힘들 수 있음

편의 상, 벡터는 굵게 표시한다. 벡터 공간, Set, Matrix는 이탤릭체로 표시한다.

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벡터 공간 (Vector Space, Linear space)

V가 더하기와 스칼라 곱이 정의되어 있는 set일 때,

-> 이것의 의미는 V안에 있는 두 벡터 x와 y의 합이 V안에 unique element로 존재하고 αx(α는 임의의 실수)도 V안에 unique element로 존재한다.

-> 선형 결합 αx+βy가 V안에 존재할 때

V를 벡터 공간 혹은 선형 공간이라고 한다

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벡터 공간은 다음과 같은 8가지 법칙을 만족한다

x+y=y+x for any x and y in V

(x+y)+z = x+(y+z) for any x,y, and z in V

There exists an element 0 in V such that x+0 = x for each x∈V

For each x∈V, there exists an element -x in V such that x + (-x) = 0

α(x+y)=αx+αy for each scalar α and any x and y in V

(α+β)x=αx+βx for any scalars α and β and any x∈V

(αβ)x =α(βx) for any scalars α and β and x∈V

1x = x for all x∈V

벡터 공간의 elements(요소)를 벡터라고 부른다

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Theorem 1

x, y, z가 V에 속해있고 α가 scalar일때

V 에 있는 0는 유일하다

0x = 0

x+y=0 이면 y=-x (-x는 유일하다)

(-1)x = -x

x+y = x+z 이면 y=z

α0=0

만약 αx=0이면 α=0 혹은 x=0이다

증명 생략.

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만약 V의 a nonempty subset S가 있고, S가 아래 컨디션을 만족하면 S는 V의 subspace(부분공간)이다

αx∈S whenever x∈S for any scalar α

x+y∈S whenever x∈S and y∈S

벡터 공간의 모든 부분 공간은 벡터 공간이다

0와 V는 V의 부분공간이다

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A가 m × n matrix라고 하자

그러면 N(A) := { x∈Rⁿ | Ax = 0 } (R은 실수) 를 A의 null space라고 한다

위 정의에 따라 N(A)는 Rⁿ의 부분공간(subspace)이다

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Theroem 2

만약 v₁, v₂, … , v_n 들이 V의 elements라면, Span(v₁, v₂, … , v_n)은 V의 부분공간이다

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v₁, v₂, … , v_n 가 벡터공간 V의 벡터들이라고 하자

Span(v₁, v₂, … , v_n)를 V의 부분공간이 v₁, v₂, … , v_n로 span되었다고 할 수 있다

Span(v₁, v₂, … , v_n) = V일때, v₁, v₂, … , v_n이 V를 span한다고 하거나, {v₁, v₂, … , v_n}을 V의 spanning set이라고 한다

집합 {v₁, v₂, … , v_n}이 V의 spanning set이라는 것의 필요충분조건은

V안에 있는 모든 벡터들이 v₁, v₂, … , v_n들의 선형결합으로 나타난다는 것이다

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만약 v₁, v₂, … , v_n 이 벡터공간 V를 span하고, 이 벡터들 중 하나가 다른 n-1개의 벡터들의 선형결합에 의해 표현 가능하면, n-1개의 벡터들은 V를 span한다

v₁, v₂, … , v_n 중 하나가 다른 n-1개의 벡터들의 선형결합에 의해 표현 가능하다는 것의 필요충분조건은 모두 0은 아닌 스칼라 c₁, …, c_n가 있을때, c₁v₁ + … + c_nv_n = 0 가 존재한다

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벡터 공간 V안의 벡터들 v₁, v₂, … , v_n이 만약 c₁v₁ + … + c_nv_n = 0 (모두 0은 아닌 스칼라 c₁, …, c_n)을 만족한다면 벡터들은 linearly dependent(선형종속)하다

Theorem 3

x₁, x₂, … x_n이 Rⁿ의 n 벡터들이고 X = (x₁, x₂, … x_n)이라고 하자. x₁, x₂, … x_n 벡터들이 linearly dependent(선형종속)하다는 것의 필요충분조건은 X가 singular하다는 것이다

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Theorem 4

벡터 공간 V에 v₁, v₂, … , v_n의 벡터들이 있다고 하자. 한 벡터 v ∈ Span(v₁, v₂, … , v_n)이 v₁, v₂, … , v_n의 선형결합(linear combination)으로 유일한 표현가능하다는 것의 필요충분조건은 v₁, v₂, … , v_n이 linearly independent(선형독립)하다는 것이다

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v₁, v₂, … , v_n 이 벡터 공간 V에 Basis(기저)를 이룬다는 것의 필요충분조건은 v₁, v₂, … , v_n이 linearly independent하다는 것, v₁, v₂, … , v_n이 V를 span한다는 것이다.

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만약 { v₁, v₂, … , v_n }이 벡터 공간 V의 spanning set이라면, V안에 있는 m개의 벡터들은 m > n일때, linearly dependent하다

만약 { v₁, v₂, … , v_n }과 { u₁, u₂, … , u_n }가 벡터 공간 V의 basis이면 n = m이다