MATH GAM∑ - my solution to this problem
Problem.
In the middle of the square, take an arbitrary point O and connect it to the middle of its sides. Four quadrilaterals were formed, the areas of three of them - 16, 20, 32 square meters. Find the area of the fourth.
Задача.
В середині квадрата взяли довільну точку О та з'єднали її з серединами його сторін. Утворилися чотири чотирикутники, площі трьох із них - 16, 20, 32 кв.од. Знайти площу четвертого.
Аж дев'ять місяців тому задавав цю задачу, проте своє рішення не відтворив. А тут на днях знайшов чернетку свого розв'язування.
На той час мені треба було хоч як розв'язати задачу - я розв'язав так, хоч вона розв'язується простіше. Все залежить від того що добудовувати спочатку)))
I set this task only nine months ago, but I did not reproduce my decision. And these days I have found a draft of my solution.
At that time, I needed to solve the problem in some way. I solved it this way, although it is easier to solve. It all depends on what line to build first)))
Позначимо площі вказаних чотирикутників через S1=16, S2=20, S3=32, S4 треба знайти.
Let us denote the areas of these quadrilaterals by S1=16, S2=20, S3=32, S4 must be found.
З'єднавши середини сторін утворимо квадрат KLMN.
Опустимо перпендикуляри з точки О на сторони цього квадрата.
Connecting the middle of the sides to form a square KLMN.
Drop the perpendiculars from point O to the sides of this square.
Позначимо EO=a, HO=b, OG=c, OF=x
Видно що a+x=b+c як сторона EF прямокутника EFMN що рівна стороні NM квадрата, a+x=EF=NM=NK=GH=c+b
Площі трикутників ANM, DKN, CLK, BML рівні - позначимо їх площу S.
Let EO = a, HO = b, OG = c, OF = x
It is seen that a + x = b + c as the side EF of the rectangle EFMN that is equal to the side NM of the square, a + x = EF = NM = NK = GH = c + b
The areas of the triangles ANM, DKN, CLK, BML are equal - denote their area S.
Знайти б площу трикутника LOM, чи його висоту - тоді б ми знали площу S4.
To find the area of the triangle LOM, or its height - then we would know the area S4.
Запишемо площі S1-S4 через S,a,b,c,x
Let's write down the area S1-S4 through S, a, b, c, x
S1=S+ac/2+xc/2
S2=S+ac/2+ab/2
S3=S+ab/2+bx/2
S4=S+xc/2+bx/2
Замінимо доданки з невідомим (х) з попередніх рівностей
Replace the terms with the unknown (x) from the previous equations
xc/2=S1-S-ac/2
bx/2=S3-S-ab/2
Тоді
Then
S4==S+(S1-S-ac/2)+(S3-S-ab/2)=
=S1+S3-S-ac/2-ab/2=S1+S3-(S+ac/2+ab/2)=S1+S3-S2=16+32-20=28
Вийшов цікавий факт: сума площ протилежних чотирикутників - однакова. 20+28=16+32
An interesting fact came out: the sum of the areas of opposite quadrilaterals is the same. 20 + 28 = 16 + 32
@ir3k, показую свій розв'язок ))