Hey,

Wie kann ich herausfinden wie ich mit dem Bitcoin-Netzwerk verbunden bin?

Ich würde sagen, dass kommt auf den Clienten bzw das Interface an. Gibt bestimmt Clienten die dir dann anzeigen, mit wievielen Knoten du verbunden bist.
Und nach der Installation beginnt dein Knoten ja sich die Blockchain herunterzuladen (über andere Knoten) wenn das klappt bist du verbunden.

Electrum und Jaxx habe ich noch nie benutzt, ich weiß gar nicht ob die nur die Wallet Funktion haben. Eine Full node muss ja mindestens die Verifizierungsfunktion haben.
Da hat wahrscheinlich jeder Client ein anderes Interface. Von komplizierten Sachen bishin zu einfachen graphischen Interface.
Wie das mit dem Entlohnen von Full node Betreibern aussieht (bei Bitcoin) weiß ich ehrlich gesagt nicht, werde mich da in Zukunft nochmal mit auseinandersetzen.
Es gibt aber auf jedenfall bereits viele andere cryptos die die Betreiber von Full nodes schon entlohnen.
Ist aber wirklich ein Problem. Glaube bei Iota zb ist das Betreiben einer Full node auch noch "ehrenamtlich":D

Bei Ethereum und Cardano muss ich oft eine komplette Synchronisation vornehmen. Weißt du was es damit konkret auf sich hat? Dadurch wird das Netzwerk doch bestimmt sicherer, oder?

Hört sich für mich nach dem aktuell halten der Registerzustände aller Knoten an falls du das meinst. Also dem Block Austausch.
Dir auch noch ein schönes Wochenende und grüße!