Über die Ebenheit eines Spektrums

Moin.

In letzter Zeit greife ich auf eine simple Funktion zurück, die mir jedoch das Arbeiten sehr erleichtert. Diese möchte ich euch nicht vorenthalten und deshalb wird es heute um diese gehen. Aber fangen wir von Anfang an:

Es war einmal ...

Es war einmal ein Mathematiker Jean Baptiste Joseph Fourier, der im Zuge seiner Arbeit an der analytischen Theorie zur Wärme etwas bemerkenswertes entdeckte: Man kann viele (periodische) Funktionen als Summe von Sinusfunktionen schreiben[1]. Für den Fall der modernen Signalverarbeitung ist es insofern relevant, als dass man eine Funktion so zerlegen kann. Und wenn man eben diese Summe von Sinusfunktionen hat, so kann man die Frequenzen einer Aufnahme erfassen, da die Auslenkung einer Frequenz als A*sin(2 * Pi * f * t) definiert ist[2]. Diese Darstellung von Funktionen nennt man deshalb nach ihrem Entdecker Fourierreihen. Ausgeschrieben sieht diese Reihe wie folgt aus:

Abbildung 1: Formel der Fourierreihe[3] || abgeschrieben; editiert mit TexMaker

Es soll mir in diesem Artikel nicht darum gehen diese Formel in vollem Umfang zu erklären. Deshalb habe ich mich einer einfacheren Darstellung in MatLab bedient um das Prinzip dahinter deutlich zu machen:

Abbildung 2: Prinzip der Fourierreihe

Dieses Bild ist dahingehend vereinfacht, als dass keine Modulation der Amplituden der Sinusfunktionen vorgenommen wird. Bedeutet: Man hätte N Stimmgabeln, die alle gleich laut sind. Dies ist aber meistens nicht der Fall bei realen Aufnahmen.
Man sieht, je mehr Sinusfunktionen genutzt werden, desto mehr nähert sich die Summe der Zielkurve an. Das passiert eben auch bei der Fourierreihe, bloß umgedreht. So kann man erkennen, welche Frequenzen besonders präsent sind. Für die Videotechnik bedeutet das, welche Farben präsent sind und für die Audiotechnik welche Töne. Sehr stark abstrahiert.

Nutzt man Programme wie Audacity, so erhält man die Möglichkeit, die Verteilung der Amplituden der Frequenzen über die Zeit betrachten zu können – für alle die das selbst testen wollen: Auf den Namen der Spur klicken, hier Hells Bells, und den Punkt Spektrogramm auswählen.

Abbildung 3: Verteilung der Amplituden der Frequenzen des Liedes Hells Bells von ACDC in Audacity

Was dabei passiert ist nichts anderes, als dass eben eine Fourrierreihe für jeden Zeitabschnitt erstellt wird. Deshalb spricht man auch von einem Spektrogramm, weil eben das Spektrum über die Zeit dargestellt wird.
Das führt zu der Ebenheit des Spektrums. So wird es bei dem IRCAM als das Verhältnis des geometrischen Mittels des Spektrums zu dem arithmetischen Mittel des Spektrums definiert [4]:

Abbildung 4: Formel der Ebenheit eines Spektrums[4]

Bildlich gesprochen handelt es sich um ein Maß für den tonalen Anteil in einer Aufnahme:

Abbildung 4: Vergleich einer Aufnahme im Zeitbereich zu dem Spektrogramm und zu der Ebenheit des Spektrogramms

Man sieht, ab dem Punkt, wo die Aufnahme einen veränderten Spektralanteil besitzt, ändert sich auch der Wert der Ebenheit. Wozu ich das ganze brauche sei zweitrangig. Dennoch wollte ich dieses unnütze Wissen mit euch teilen.

Die Bilder, die ich mit MatLab machte, hab ich hochgeladen, samt des Skriptes und der Rohdaten, die MatLab braucht. Dabei habe ich die Version von 2015 genutzt. Ich habe nicht die Kompatibilität mit Octave getestet, jedoch sind die Befehle jetzt nicht außergewöhnlich. Also probiert es einfach aus. Zu dem Download geht es hier: https://www92.zippyshare.com/v/vmDpkANN/file.html
Der Download kann nur begrenzt verfügbar sein.

Schöne Woche noch,
KonstIce

Quellen:
[1] ca. S. 226f.: J. B. J. Fourier - The Analytical Theory of Heat, 1878|| https://archive.org/stream/analyticaltheor01fourgoog#page/n225/mode/2up
[2] S. 90.: Paetec, Gesellschaft für Bildung und Technik mbH - Formeln und Tabellen, 1998 || aka Tafelwerk
[3] S. 50.: Verlag Europa-Lehrmittel - Formelsammlung höhere Mathematik, 2015 || aka Göhler
[4] S. 20.: IRCAM - A large set of audio features for sound description (similarity and classification) in the CUIDADO project, 2004 || http://recherche.ircam.fr/equipes/analyse-synthese/peeters/ARTICLES/Peeters_2003_cuidadoaudiofeatures.pdf