Sobre las demostraciones en matemática:

Introducción:

La demostración es un razonamiento o serie de razonamiento que prueba la validez de un nuevo conocimiento estableciendo sus conexiones necesarias con otros conocimientos. Cuando un conocimiento queda demostrado, entonces se le reconoce como válido y es admitido dentro de la disciplina correspondiente. La demostración es el enlace, entre los conocimientos recién adquiridos y el conjunto de los conocimientos anteriores. El enlace entre los conocimientos recién adquiridos y los anteriores está constituidos por una sucesión finita de proposiciones que o bien son postulados o bien son conocimientos cuya validez se ha inferido de otras proposiciones, mediante operaciones lógicas perfectamente coordinadas. La demostración permite explicar unos conocimientos por otros y por tanto es una prueba rigurosamente racional. Sabemos que todas las proposiciones de una teoría matemática se clasifican en dos tipos: las aceptadas sin demostración que son las definiciones (donde no hay nada por demostrar) y los que se toman como proposiciones de partida y las deducidas, llamadas (que son proposiciones cuya validez ha sido probada).
No siempre tenemos evidencia directa de la validez de un teorema. Eso depende en parte su grado de complejidad y de nuestra mayor o menor familiaridad con su contenido. Un teorema requiere demostración cuando no hay evidencia de su validez.

Estructura de la demostración:

La demostración consta de tres partes:
a) El conocimiento que se trata de demostrar, es decir la proposición (teorema) cuya validez set rata de probar.
b) Los fundamentos empleados como base de la demostración.
c) El procedimiento usado para lograr que el conocimiento quede demostrado. Los procedimientos de demostración permiten establecer la conexión lógica entre los fundamentos y sus consecuencias sucesivas, hasta llegar como conclusión final a la tesis que así se demuestra. Una tesis puede ser demostrada mediante distintos procedimientos.

Métodos de Demostración
Estudiamos en esta sección, la estructura de las demostraciones así como las estrategias para su construcción. Aunque no sea posible considerarlas todas, describiremos algunas de las técnicas de demostración más comunes, daremos ejemplos de su uso y las relacionaremos con las reglas de inferencia anteriormente descritas.
Hemos visto con anterioridad que una demostración era un razonamiento que establece la veracidad de un teorema, es decir demostrar un teorema equivale a probar que la proposición condicional P −> Q es una tautología o lo que es igual probar que P => Q.
Veremos algunas de las técnicas utilizadas para probar implicaciones. Debido a que dichas técnicas son bastante comunes nos referiremos a ellas por sus nombres.

1 Demostración Vacía:

Una demostración de este tipo se construye estableciendo que el valor verdadero de la hipótesis P es
falso.
En efecto, si podemos establecer la falsedad de P, entonces el condicional P –> Q siempre es verdad
independientemente del valor de verdad de la conclusión Q, luego P −> Q es una tautología y, consecuentemente, P => Q
Aunque parece que tiene poco valor, este método de demostración es importante para establecer limitaciones o estudiar casos especiales. _

2 Demostración Trivial:

Se construye una demostración de este tipo, probando que el valor verdadero de la conclusión es
verdad. Si es posible establecer la veracidad de la conclusión Q, entonces el condicional P −> Q será una
tautología independientemente del valor de verdad que tenga la hipótesis, luego P => Q, la demostración
es correcta y el teorema cierto.
Al igual que la demostración vacía, la demostración trivial tiene una aplicación limitada y aún así es
bastante importante. Se utiliza frecuentemente para establecer casos especiales de afirmaciones. _

3 Demostración Directa:

Una demostración de este tipo muestra que la verdad de la conclusión Q, se sigue lógicamente de la verdad de la hipótesis P. La demostración empieza asumiendo que P es verdad para después, utilizando cualquier información disponible, así como teoremas probados con anterioridad, probar que Q es verdad.

Ejemplo: Demostrar que el cuadrado de un número entero par también es par.

Demostración:
El teorema a demostrar escrito en forma de condicional, sería
“Para cualquier entero n, si n es par, entonces n2 es par”
que se corresponde con el esquema

Para todo n [p(n) −> p(n2)]

p(n) : n es par.

y el universo del discurso son todos los números enteros.
Pues bien, sea n un número entero cualquiera.
Si n es par, entonces por la definición que vimos en el siguiente ejemplo (3.2), existirá un número entero k
tal que
n = 2k
de aquí que elevando al cuadrado, obtengamos
n2 = 4k2 = 2(2k2)
y como el cuadrado de un número entero también es entero, 2k2 será entero (lo llamaremos m).
Así pues, hemos encontrado un entero m tal que,
n2 = 2m.
Por lo tanto, y utilizando de nuevo la definición 3.2, concluimos que,
n2 es par.
Aunque este ejemplo es bastante sencillo, el desarrollo lógico de la demostración es idéntico al de otros
teoremas de contenidos más complicados. Observemos, una vez más, el camino seguido a través de implicaciones.

Sea n cualquier número entero. Entonces,
n es par => 9k : n = 2k {Ejemplo 3.2}
=> n2 = 4k2 {Elevando al cuadrado}
=> Existe m : n2 = 2m Tomando m = 2k2 => n2 es par {Ejemplo 3.2}

4 Demostración por la Contrarrecíproca:

La demostración de un teorema se dice que es por la contrarrecíproca cuando suponiendo que la conclusión
Q, es falsa y utilizando la hipótesis P y otros teoremas y equivalencias lógicas establecidas previamente, se concluye que P es falso.
Está basada en la equivalencia lógica entre una proposición condicional y su contra recíproca,
P −> Q  ¬Q −> ¬P
Por lo tanto, si probamos que ¬Q −> ¬P es una tautología, habremos probado que P −> Q también
lo es, luego P => Q. _

Ejemplo 4.1 Demostrar, para cada entero n, que si 5n + 3 es par, entonces n es impar.

Demostración:

Utilizaremos el método de demostración por la contra recíproca.
Si
p(n) : n es par
q(n) : n es impar
el esquema del teorema propuesto será
Para todo n [p(5n + 3) −> q(n)]
en el universo de los números enteros. El esquema de la contra recíproca sería
Para todo n [¬q(n) −> ¬p(5n + 3)], es decir, “Para cada entero n, si n no es impar, entonces 5n + 3 no es par”
Pues bien, sea n cualquier número entero.
Si n no es impar, entonces por la nota,
n =/= 2k + 1
para cualquier entero k y, por lo tanto,
5n + 3 =/= 5(2k + 1) + 3, para todo k pertenece a Z
de aquí que
5n + 3 =/= 2(5k + 4), para todo k pertenece a Z
y como si k es entero, 5k + 4 también lo es (lo llamaremos m), tendremos que
5n + 3 =/= 2m, 8m pertenece a Z
Consecuentemente, y de acuerdo con la definición dada en el ejemplo, 5n + 3 no es par y la demostración concluye.
Veamos la demostración a través de implicaciones. Sea n un número entero cualquiera. Entonces,
n no es impar => n =/= 2k + 1, para todo k pertenece a Z {Nota 3.3}
=>
5n + 3 =/= 5(2k + 1) + 3
= 10k + 8
= 2(5k + 4) {Haciendo operaciones}
=> 5n + 3 6= 2m, 8m 2 Z {Tomando m = 5k + 4}
=> 5n + 3 no es par {Ejemplo 3.3 }

_
5 Demostración por Contradicción:

La demostración de un teorema diremos que es por contradicción cuando suponiendo que la conclusión,
Q, es falsa y utilizando la hipótesis P, y otros teoremas y equivalencias lógicas establecidas previamente,
se llega a una contradicción.
Está basada en la equivalencia lógica conocida como reducción al absurdo, es por ello que este método
de demostración es conocido, también, como demostración por reducción al absurdo.
P −> Q <=> (P ^ ¬Q) −> C
donde C es una contradicción. Por lo tanto, si probamos que (P ^ ¬Q) −> C es una tautología tendremos
que P −> Q también lo es y, consecuentemente, P => Q. _
Ejemplo 3.5 Demostrar que si el cuadrado de un número entero es impar, entonces el número es impar.

Demostración:

El teorema a demostrar es “Para cada entero n, si n2 es impar, entonces n es impar”
Si
p(n) : n es impar
entonces el esquema del teorema en notación simbólica será
Para todo n [p(n2) −> p(n)] en el universo de los números enteros.
Lo demostraremos por contradicción o reducción al absurdo. El esquema sería
Para todo n [p(n2) ^ ¬p(n)]−> C, donde C es una contradicción.
Pues bien, sea n cualquier número entero.
Supongamos que n2 es impar y que, sin embargo, n no es impar. Entonces, tendremos que
n2 es impar y n es par
de aquí que por la definición de número impar (Nota 3.3) y la de par dada en el ejemplo 3.3,
tengamos que existan dos números enteros k y l tales que
n2 = 2k + 1 y n = 2l
luego,
n2 = 2k + 1 y n2 = 4l2
por lo tanto,
2k + 1 = 4l2
de donde se sigue que
1 = 4l2 − 2k = 2(2l2 − k)
y como si l y k son enteros, 2l2 − k también lo es (lo llamaremos m), tendremos que hemos encontrado un número entero m tal que
1 = 2m
es decir, el 1 es par, lo cual, obviamente, es una contradicción.

Lo que nos ha llevado a la contradicción es la suposición de que n no era impar, por lo tanto ésta es falsa
siendo cierta la contraria, es decir, n es impar.
Veamos la demostración a través de implicaciones.
n2 impar y n no es impar =) n2 impar y n es par
=> 9k : n2 = 2k + 1 y 9l : n = 2l {Definición de impar y par}
=> 9k : n2 = 2k + 1 y 9l : n2 = 4l2 {Elevando l al cuadrado}
=> 9k y 9l : 2k + 1 = 4l2 {Igualando}
=> 9k y 9l : 1 = 2(2l2 − k) {Haciendo operaciones}
=> 9m : 1 = 2m Tomando m = 2l2 − k => 1 es par {Definición de número par}
=> Contradicción

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6 Búsqueda de Contraejemplos:

Este tipo de demostración, íntimamente relacionada con el cuantificador universal, aparece cuando se quiere probar que una proposición del tipo 8x, p(x) es falsa. Normalmente diremos que se refuta la proposición 8x, p(x).
En efecto, 8x, p(x) será falsa cuando exista, al menos, un elemento a en el universo del discurso para el
cual p(a) sea una proposición falsa. Hemos encontrado, pues, un ejemplo que contradice el que 8x, p(x)
sea verdad por lo cual le llamaremos contraejemplo.
En el caso de un teorema el planteamiento sería como sigue: 8x [p(x) −! q(x)] es falso si existe un elemento a en el universo para el cual la proposición condicional p(a) −! q(a) sea falsa, es decir tal que p(a) sea verdad y, sin embargo, q(a) sea falsa.

Ejemplo 3.6 En el universo de los números enteros positivos, demostrar o refutar la siguiente proposición: “la suma de dos cuadrados perfectos es también un cuadrado perfecto.”

Solución:

Recordemos que un entero positivo x es un cuadrado perfecto si puede encontrarse otro entero positivo
y tal que x = y2.
La proposición a demostrar escrita en forma de condicional sería:
“Si m y n son enteros positivos y cuadrados perfectos, entonces m + n es un cuadrado perfecto.”
Pues bien, si
p(m, n) : m + n es un cuadrado perfecto,
entonces la proposición escrita en forma simbólica es
8m, 8n [(p(m, 0) ^ p(n, 0)) −> p(m, n)]
y un contraejemplo,
9a, 9b : [p(a, 0) ^ p(b, 0) ^ ¬p(a, b)]
es decir,
“pueden encontrarse dos enteros positivos a y b tales que sean cuadrados perfectos y que, sin embargo, su suma no lo sea.”
Pues bien, elijamos dos cuadrados perfectos arbitrariamente, por ejemplo el 25 y el 36 .
Entonces, 25 + 36 = 61 =/= y2, para todo y
por lo tanto, y de acuerdo con la definición de cuadrado perfecto dada, 61 no es un cuadrado perfecto.
Así pues, ya tenemos el contraejemplo:
“25 y 36 son, ambos, cuadrados perfectos y, sin embargo, su suma, 25 + 36, no lo es.”
Consecuentemente, la proposición propuesta es falsa. _

Nota: Según hemos visto podemos demostrar un teorema de forma directa o indirecta (contra recíproca y contradicción). Si podemos demostrarlo de forma directa, resultará, en general, menos engorroso que utilizar métodos indirectos. Podemos empezar intentando un método directo y si no resulta, buscar un contraejemplo que refute el teorema. Si la búsqueda del contraejemplo también falla, entonces intentaríamos la demostración a través de métodos indirectos.

También vean mis artículos sobre y relacionado a la educación y las enseñanzas de la filosofía y demás temas interesantes, saludos.

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