퀴즈 296 원에 내접/외접 하는 도형

1. 원에 내접하는 정사각형의 넓이는 그 원에 외접하는 정사각형의 넓이의 몇분의 1인가?

2 . 위의 정사각형 대신 정삼각형으로 바꾸어 문제를 풀어보자

hint : 그림만 잘 그리면 이 문제는 쉽게 해결 할 수 있다.

1. 일반화 : 원에 내접하는 정n 각형의 넓이와 그 원에 외접하는 정n 각형의 넓이의 비는?

풀이

1번 2번은 실제로 그려보면 답이 바로 보인다.

즉 원에 내접하는 정사각형의 넓이는 그 원에 외접하는 정사각형의 넓이의 절반이다.

자 이제 일반화를 해보자. 이 문제는 중학교 교과서에 등장하는 문제이다.

일단 정 다각형의 한 각은 180(n-2)/n 이다.

먼저 반지름이 1인 원을 생각하고, 거기에 내접 및 외접하는 정 n 각형을 그린다고 가정하자.

내접 하는 정 n 각형의 한변의 길이를 2x, 외접하는 것의 한변의 길이를 2y 로 하자.

그리고 위의 두 그림을 잘 살펴보자. 핵심은 삼각형 들에 있다.

180/n 을 기준으로 내접 다각형의 넓이와 외접 다각형의넓이는 cos^2(180/n) : 1 이 된다.

[p.s 왜 그런지 알겠는가?, 원의 중심을 기준으로 이등변 삼각형을 그려보아라 ]

자 넓이 비는 길이 제곱의 비고 이를 통분하면 위 답이 등장한다!

퀴즈 297 신문 페이지

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신문을 읽다가 한 페이지를 뜯었더니 8페이지와 21페이지가 같은 면에 놓여있었다.

이 신문은 몇페이지로 구성되어 있는가?

풀이

신문 혹은 booklet 폼에서는

한 면에 있는 페이지 번호에는 다음과 같은 관계식이 성립한다.

a + b = n+1, n 은 전체 페이지 수

그래서 8+21 -1 = 28 즉 그 신문은 28페이지로 이루어져 있다.

퀴즈 299 어둠 속의 양말

빨간색 양말 5켤레, 노란색 양말 4켤레, 녹색 양말 2켤레가 있다. 총 [11x2=22개의 양말이 있다.]

어둠 속에서 양말을 꺼내 신으려고 한다.

최소 몇 개를 꺼내야 같은 색깔의 양말을 신을 수 있을까?

단 조건으로 양말은 오른발 왼발 구분이 없다. - 여기서는 발가락 양말 양말이 아니다 ㅋㅋ

만약 이 문제를 양말 대신 장갑으로 바꾼다면 [장갑은 손가락 위치가 존재하여 왼손, 오른손이 구분된다.]

몇 개를 꺼내야 할까?

풀이

양말의 경우 4번, 장갑의 경우 12번.

양말의 경우, 색깔을 기준으로 같은색이 두번은 나와야 한다. 즉 최악의 경우, 3개를 뽑았을 때, 모두 다른 색이 나올 수 있다. 4번째에는 반드시 3가지 색 중 하나가 나올 테니

4개를 뽑으면 적어도 한가지 색깔은 pair 가 된다.

반면 장갑의 경우에는 최소 12번은 뽑아야 된다.

장갑의 경우 오른손, 왼손이 구분이 된다. 즉, 최악의 경우, 11번을 뽑아 모두 한쪽 손을 뽑았을 때, 12번 째에는 반드시 하나는 짝이 맞게 된다.

이 문제 역시 풀이의 기본 아이디어는 비둘기집 원리이다!

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