学习回归分析篇---之一元非线性回归分析方法

如果相关系数不大于相应的相关系数临界值，P 值太小，线性假设不能成立。 过程不是线性的，存在两种可能性：没有相关关系；存在非线性关系。 如果确认过程是非线性的，就应该使用非线性模型。

非线性回归分析的基本思想是把非线性问题转换为线性回归分析问题，从而和线性回归分析一样地处理。 基本方法是通过变换，把一个量转换成另一个量。变成线性回归问题之后，调用线性回归过程估计参数。 然后再将变量反代换回原来的变量。

模型变换引入的新变量，可能并不以真实变量的身份出现在试验中，可能是虚拟的变量，在回归分析时统称为回归变量。 一些函数变换例子如 y=1/x，y=x²，y=exp(x)，y=log(x)等等。 这样可以构成相当广泛的回归函数类型。

有时需要变换的变量不是自变量，而是应变量。有些回归方程其应变量包含在函数 中 以 f(y) 形式出现。 此时，也应作替换。计算完成后，必须作相应反变换才能得到习惯的便于阅读的形式。 在 存款分析 的图 5.6 中应变量 y=(y3)^-1/3, 图 5.7 中应变量 y=ln(y3), 这两个处理中的自变量（年）都没有做变换。

例 1. 寿命方程

以下有关热分析的例子都由曹美英提供。

寿命方程

lnτ=a+b/T -----(6.1) 是表征材料耐热寿命的一个很重要的方程。其中 T 为绝对温度，τ 为寿命。变量替换 y= lnτ ------(6.2) x= 1/T ------(6.3) 将式(6.1)线性化为 y=a+bx.------(6.4)

例 2. 氧化诱导期研究

某些聚烯烃在有氧存在的环境下受热时，在一段时间内呈稳定状态。 经过一段时间 τ 后，材料的分子结构迅速崩溃，性能变坏，失去使用价值。 试验的温度越高，τ 越小。材料研究中把 τ 叫做该材料在相应试验温度 T 下的氧化诱导期。 经研究，τ 与 T 之间的关系服从寿命方程 (6.1)。这个过程已经不是假设了。 只要选取若干个(不得少于 3 个) 温度在热分析仪上进行试验，得到一组观察值 (T_i,τ_i)。 经回归分析计算即可估算出参数 a,b，从而确定寿命方程。利用这个方程，可以预报任何温度 T 下的氧化寿命。 也可以反过来计算使用寿命为τ_u所允许的使用温度 T_u (参见：贺深泽，高分子材料的耐热寿命与耐温指数的快速评估,塑料工业，(89年)第1期，47-50，1989）。

任何材料都是有寿命的。不一定是氧化，热、光、化学介质都会使材料降解，由量变到质变，最终瓦解，失去使用价值， 其规律性不完全一样。关系特性的最终表达式就是 (6.1)，不同过程可以具有相同的数学模型。

从非线性函数到线性函数的转换有时需要经过精心设计。可能要分几步，做几层代换才能最终使每项只含有一个简单变量。 设计计算程序时，通常会提供一些方法，给拟线性化工作以方便。 可直接线性化的函数之多是很难被罗列穷尽的。有些模型要靠分析人员自己设计。

例 3. 结晶速度研究

结晶物质，特别是半结晶高聚物的结晶行为，在高分子材料研究中是一个重要课题。
对新材料的开发与改进或工程选材都有重要意义。PET，PA6，PE等是最常用的半结晶高聚物。
结晶速度受材料本身分子的结构，外界温度，应力及成核剂等许多因素的影响，过程甚为复杂。Avrami-Erofeev方程
ln(1-c)=-ztⁿ------(6.5)
提供了恒温过程的速率方程。式中，c 为未结晶分数，z 为结晶速率常数，n 为 Avrami 系数，由成核及生长方式决定。

令

q=1-c------(6.6) 记结晶分数。如果已知级数 n, 则替换 y = ln(q) ------(6.7) x = tⁿ ------(6.8) 把 (6.5)线性化为 y = - zx ------(6.9) 这是一个单参数方程。截距为 0，即直线过坐标原点，另一点可由 (x^-,y^-) 决定。 对结晶速度研究，n 是一待定参数。此时，必须对(6.5) 式两边再取一次对数成为二参数方程， ln( ln(q))= ln(-z)+ n ln(t) ------(6.10) 再代换一下就是标准形式的一元线性方程。用 DSC 仪对样品进行扫描得到 DSC 曲线，用回归分析方法处理数据即可求得 n 和 z。可以由恒温法或等速降温的非恒温法来实现。

对于变量替换，有一个问题需要引起注意。设计的试验点分布本来是均匀的， 但某些变换把这个本来是均匀的设计影射到新变量后，可能不再是均匀的了， 甚至可能是很不均匀的。相反，一个本来不均匀的设计，影射的结果可能倒成为均匀的了。 同样，正交的设计可能不正交了。

这样的转换有时可能把一元过程变成了多元过程。这种情况的处理在后面的多元回归分析中介绍。

参 考

1. 茆诗松,丁元,周纪芗,吕乃刚编著,《回归分析及其试验设计》,华东师范大学出版社,上海,1981
2. George.E.P.Box, J.Stuart Hunter, William G.Hunter, Statistics for Experimenters (Second Edition),2005
3. T.Hastie,R.Tibshirani,J.Friedman, The Elements of Statistical learning, Springer-Verlag,New York,2001
4. J.S.Milton, Jesse C.Arnold, Introduction To Probability and Statistics,(Third Edition ),1995