【cn-stem】用虚数寻找宝藏

前几篇文章我们都谈到了虚数i，英文里面虚数i 就是想象中的数，而不是像1,2,3这样的现实中的数。其实想象中的数也是有现实意义的。可以拿来解决现实中的问题。

我们先来看一个故事，一位勇敢的年轻人在清理刚刚去世的爷爷的遗物时发现了一封羊皮纸写得信：

我已经将财宝埋在北纬xxx，西经xxx的位置上的那个小岛上了，岛上有一颗松树，一颗橡树，还有一个绞刑架，这是我当年用来绞死叛徒用的。从绞刑架出发，走到松树那里，记下走了多少步，再右拐个直角，走同样的步数，然后在脚下打个木桩。回到绞刑架那里，再朝橡树走，走到树下后记下走了多少步再向左拐个直角，接着走同样的步数，也在脚下打个木桩。把两个木桩用绳子绑起来，在绳子的中点挖掘，就能找到我埋藏的宝藏。

原来年轻人的爷爷早年是个威风凛凛的海盗船长。在出生入死大半辈子后，为了过上安稳的生活，而隐姓埋名。现在斯人已逝，子孙终于可以享用那份财宝了。富有冒险精神的年轻人，连忙扬帆远航，在那个坐标上果然找到了那个荒岛，岛上的松树和橡树也巍然屹立，可是当年的绞刑架已经烂成了灰，完全看不出痕迹。爷爷留下的指示完全没有用了。年轻人只好在岛上乱挖一气，结果一无所获。最后只得悻悻离去。所以，那笔财宝可能现在还在岛上呢。

其实，如果年轻人如果懂得虚数的话，他本可以满载而归的。

我们先复习一下虚数的相关知识，再开始我们的寻宝之旅。

虚数i是-1的平方，位于复平面的纵轴。a+bi是复数（complex number）表示复平面上的向量，向量可以理解成带方向，有长度的箭头。

复数之间的的加法遵循平行四边形法则：

图一：向量加法的平行四边形法则 作者：cheva
而一个数与虚数i相乘就相当于逆时针旋转90度，比如1×i，代表1的点就被旋转到纵轴上面去了。再乘以一次i，也就是1×i×i=-1，就相当于逆时针旋转了180度。

好了，有了这些知识，我们不用确定绞刑架的位置也能找到宝藏。

图二：按照羊皮信描绘的藏宝图 作者：cheva

假设绞刑架的位置在Γ（大写的希腊字母gamma），这个字母长得和绞刑架太像了，所以就用它了。

设Γ=a+bi 橡树的坐标为-1，所以，绞刑架到橡树的距离方位的向量就是-1-Γ=-（1+Γ）同理，绞刑架到松树的距离方位向量就是1-Γ。

而两个木桩的位置就是将这两个向量顺时针和逆时针旋转90度。按照虚数乘法的意义就是分别乘以-i和i：

第一根木桩：-i[-(1+Γ)]+1

第二根木桩：i(1-Γ)-1

按复平面的定义，所有向量的起点都是原点，所以，要分别+1，-1进行平移才能获得木桩在复平面上的位置。

藏宝处位于两个木桩的连线的中点，也就是两个向量之和的一半所指向的位置：

1/2[i(1+Γ)+1+i(1-Γ)-1]=1/2[i+iΓ+i-iΓ]=1/2*2i=i

原来表示绞刑架位置的复数Γ在计算过程中被消掉了，埋宝藏的地方其实与绞刑架的位置无关，所以，年轻人随便选一个点当绞刑架，然后按照他爷爷留下的指示做，都能挖到宝藏。不懂数学，就这样丧失了登上人生的巅峰的机会。可见学习是多么重要的事情。

参考资料：

• 伽莫夫 《从一到无穷大》 第二章 “自然数和人工数”

 

 

 

 

 

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