【cn-stem】怎么证明0.999...=1

0.999...是小于1还是等于1，不知你仔细思考过这个问题没有，我也有段凭直觉想当然的时期认为，0.999...是无限逼近于1,但永远不会到达1。所以，它终究是小于1的。但真的是这样吗，其实数学讲的是逻辑，而不是直觉，有许多方法证明0.999...就是1。
方法1：
这是最简单的方法。

所以
1=0.9999....

方法2
利用等比数列求和公式，其中0<q<1：

当n趋向无穷大时,a₁qⁿ的值趋于0，所以：

上面就是无穷等比级数的求和公式，而：

带入无穷等比级数求和公式：

以上是用初等数学证明0.9999...=1，还有更高级的方法来证明，比如用集合论的理论。
我觉得这个问题其实跟古希腊数学家提出的芝诺悖论是一回事，就是一支箭要射中靶子，它必须飞过与靶子间一半的距离，然后又要飞过剩下路程的一半，然后一半又一半。。。这个过程可以无限进行下去。最后得出结论，这支箭永远不会射中靶子。事实上这是不可能的。箭肯定会射到靶子上，所以0.9999...也就等于1。