图1：阿基米德像，作者：cheva

一、阿基米德和《羊皮书》

阿基米德是古希腊著名的科学家，生活在希腊在意大利的殖民地叙拉古。大家都熟悉他在洗澡时灵光乍现，想出了如何称量王冠确定确定含金量的故事。其实他还是一个和达芬奇类似的工程师，在帮助自己的城邦抵御罗马人的进攻时，他制作了许多前所未见的战争机器，比如利用杠杆原理掀翻罗马战舰的机器。利用镜面反射聚焦太阳光点燃罗马战舰等等，给攻城的罗马军团造成巨大伤亡。但最终强大的罗马军团还是攻陷了叙拉古，阿基米德也在城破时被乱兵所杀。据说，罗马将军其实很敬重阿基米德的才学，他让士兵去把他请来，当士兵找到阿基米德时，他正在研究一个几何学问题，他要求等他把问题算完再走。粗鲁的罗马士兵认为他在藐视强大的罗马军团。一怒之下杀死了阿基米德。阿基米德死后，他的著作大多散失，留存于世的只有区区八篇文章。
然而在1998年，一部神秘的羊皮书出现在索斯比拍卖行，表面上看这是一部写满基督教祈祷文的手抄本，作者是中世纪拜占庭帝国的一个不知名的教士。但起拍价却高达80万美元。原来，人们发现那个教士是在“废物利用”，这部祈祷文原本是另一本书，那个传教士可能是纸不够用了，于是将原来的文字刮掉，重新写上了赞美上帝的话。而现在人们从残存的笔迹上发现，原书正是阿基米德的著作。
如此重大的发现，甚至惊动了希腊政府，他们派出专员前往拍卖现场，誓要将这国宝拿下。但拍卖当天一位神秘的富豪B先生出手不凡，将价格叫到了200万美元，希腊政府再也无力加价。有猜测说这位神秘的B先生是比尔盖茨。但事实并不是。
神秘的B先生入手后，将“阿基米德白皮书”转而借给多家著名研究机构，并提供经费，要求复原被刮掉的阿基米德原著。经过科学家的不懈努力，真的复原了原书的绝大部分内容，人们惊奇的发现这部抄本不仅包括现存的全部八篇阿基米德的著作，还包括两篇世人从未见过的文章《方法论》和《十四巧板》。其中《方法论》中有许多关于极限的超前思考，可以看作微积分思想的萌芽。下面我们就通过阿基米德计算球体体积的方法来一窥天才的思想。

二、阿基米德计算球体体积的方法
阿基米德关于杠杆原理有一句名言就是“给我一个支点，我可以撬起地球”，他在证明球体体积时，也用到了杠杆原理。如下图：

图2：计算球体体积的杠杆配置 作者：cheva

简单说，就是当有一个杠杆，一边挂一个底面半径为2R，高为2R的圆锥和一个半径为R的球体，另一边挂一个底面半径为2R，高也为2R的圆柱。且圆锥与球一侧的力臂为2R，圆柱一侧力臂为R时。假设圆锥、球、圆柱三者材料相同，也就是密度相同，则此时杠杆刚好平衡。
如果三者材料密度相同，则三者所受重力仅与自身体积V相关，根据杠杆原理有：

(V_圆锥+V_球)×2R=V_圆柱×R （式1）

只要证明上述等式即可求出球的体积。当然，你可以通过做实验去验证这个表达式。但在思维发达，逻辑严密的的数学家眼里，做实验这种方法实在登不上大雅之堂。我们看看阿基米德是如何推导的。

图3 作者：cheva

如上图，我们将圆锥、球体和圆柱叠放在一起，从侧面看过去，然后从三个物体上面距左侧x的地方取厚度为dx的薄片（dx很薄，薄到厚度可以忽略不计），即红色部分。因为dx很薄，薄片的体积可以近似应用圆柱体的体积公式，这已经是微分的思想了，即：
因为圆锥的高和底面半径都是2R,所以圆锥横截面是底角为45度的等边直角三角形。所以，截面的半径也等于x，所以有：

V_圆锥薄片=πx²×dx

球体截面半径为图中的AB，根据勾股定理可以计算，所以：

V_球体薄片=π(R²-(R-x)²)×dx

柱体薄的体积为：

V_柱体薄片=π(2R)²×dx

根据杠杆原理：

(V_圆锥薄片+V_球体薄片)×2R=V_柱体薄片×x

约去dx，得：

(πx²+π(R²-(R-x)²)×2R=π(2R)²×x

化简，得：

4πR²x=4πR²x

所以，当从距离左侧x处取一段薄片的体积都能使杠杆平衡。因为x是任意的，也就是说，把三个物体切成许多薄片，每个相应距离的薄片都能使杠杆平衡，则作为整体，圆锥，球和圆柱也能使杠杆平衡，所以（式1）成立。这已经很接近积分的思想了。
根据圆柱与圆锥的体积公式可以算出，球的体积公式：

V_球=(V_圆柱-2×V_圆锥)/2

V_球=4/3 πR³

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参考资料

• 李永乐老师Youtube频道：数学家阿基米德的羊皮书是如何重见天日的？李永乐老师讲球的体积公式如何推导
• 《阿基米德羊皮书》背后的科学史奇案作者：江晓原
• Archimedes' Method for Computing Areas and Volumes - Cylinders, Cones, and Spheres 作者：Gabriela R. Sanchis
• Volume of Sphere/Proof by Archimedes